다양한 함수의 정의와 표현

수학을 써보기 2

일상에 수학을 더하기로 했으니 바로 실천.

함수형 인간 회복하기

검색해보니 중국에 가기 직전인 2016년 2월에 올린 자료가 있다. (검색으로 우연히 발견한 브런치 글로 함수형 인간이 있다.) 요즘 예를 들때, 걸핏하면 '함수'를 거론한다며 나를 수학을 좋아하는 사람으로 인식하는 분도 있다. 그 매개체가 함수이니 광활한 수학의 영역 중에서 함수부터 시작하기로 한다.

깨봉수학의 함수 설명

일단, 유튜브 검색에서 깨봉수학과 함수를 키워드로 검색을 해봤다. 가장 비슷한 영상을 보며 인상 깊었던 내용을 캡춰했다. 아래 보이는 바대로 x 때문에 변하는 식을 함수로 설명한다. 함수가 영어로 Function이고, Function of ~ 가 너무 길어서 f( ) 형태로 축약해서 표현한다.

유튜브 검색에서 함수만을 키워드로 다른 영상도 찾아보았다. 초등학교때 보았던 설명이 등장한다. 대체로 깨봉수학에 들은 것과 큰 차이 없지만, 함수를 기계에 묘사하는 부분만 다르다. (인간을 기계로 설명하던 김상욱교수의 동영상이 떠올랐다.)

더 구체적인 정의를 찾다

그러다가 유튜브에서 더 구체적인 정의를 찾았다. 깨봉수학과 달리 함수라는 정의를 (단지 function의 번역이 아니라) 의미있게 다룬다. 나는 함수를 속이 보이지 않는 상자(black box)로 보는 관점이 현실에서 꽤나 쓸모 있다고 생각한다.

그리고, input과 output 값을 집합의 원소로 설명하는 내용이 등장한다.

집합과 함수 연결하기

함수와 집합의 연결 과정에서 대응이라는 관계가 등장한다. 대응관계의 내용에 따라 함수일 수도 있고, 아닐 수도 있다.

대응하는 두 집합에 특별한 이름이 붙여진다. Input값의 집합은 정의역이라고 부르고, 결과인 Output값의 집합은 치역이라 한다. 다만, 실제 대응하는 값의 집합이 치역이고, 가능한 대응의 집합은 공역이라고 부른다. 여기서 대응이 가변성을 지니면 치역과 공역이 다를 수 있고, 불변의 대응이면 공역이 곧 치역이 될 듯하다.

정의역과 치역이 무한하면 그래프로 표현하기

이렇게 집합을 도입해서 함수를 표현하면, 원소의 유무한에 따라 표기 방법이 달라진다. 함수에서 집합으로, 집합에서 그래프로 이어지는 흐름이 흥미롭다. 학창시절에 이렇게 배웠다면 수포자가 되지 않았을 듯하다. :)

함수형 인간이라는 모호한 키워드를 던진 이유에 대해서는 다음 글에서 이어가기로 한다.