2.연역논증 2)명제논리 ③부정
*유튜브해설 : https://www.youtube.com/watch?v=iAsM7Dusyx0
지난 포스팅에서는 명제들이 맺을 수 있는 다음의 관계들 중 연언기호에 대해 살펴봤습니다. 다음과 같이 연언 기호로 연결된 P∙Q 명제는 P와 Q가 모두 참일 때만 P∙Q도 참이라는 성질을 살펴봤었죠.
이번 포스팅에서는 부정에 대해 다뤄보려 합니다. 연언 기호와 비교한다면 내용도 단순하고 영상 길이도 짧으므로 가볍게 읽으실 수 있을 겁니다. 그럼 바로 시작하겠습니다.
부정이란 쉽게 말해서 ‘무엇이 아니다’라는 뜻을 나타냅니다. 그런데 상식적으로 ‘무엇이 아니다’라고 말하기 위해서는 ‘아니다’라고 부정할 그 무엇이 필요하겠죠. 따라서 논리학은 다음과 같은 기호로 부정을 나타냅니다.
~P
이 같은 표기에서 P는 ‘아니다’라고 부정할 그 ‘무엇’에 해당하는 부정의 대상이며 물결 모양의 기호 tilde는 부정의 의미를 담고 있습니다. 따라서 읽을 때는 not P라고 읽고, 그 의미는 P가 아니다 라고 해석하시면 됩니다. 가령 ‘철수는 학생이다’라는 명제를 P라고 가정하면 ~P는 철수는 학생이 아니다 라는 뜻이 되는 거죠.
이를 진리표로 나타내보면 다음과 같습니다.
P가 참일 때 ~P는 거짓이고 P가 거짓일 때 ~P는 참인 관계가 성립합니다. 즉 철수는 학생이라는 말이 참이면 철수는 학생이 아니다 라는 말은 거짓이 되고, 철수는 학생이라는 말이 거짓이면 철수는 학생이 아니다 라는 말은 참이 되는 거죠. 이처럼 부정은 본 명제와 항상 정반대의 진리값을 가지는 모순 관계라는 특징이 있습니다.
그렇다면 이 같은 부정은 논리학에서 어떤 식으로 응용될 수 있을까요. 부정의 응용 사례 중 대표적인 것은 바로 귀류법입니다. 귀류법의 대략적인 논리는 이렇습니다.
가령 우리가 밝혀내고자 하는 목표 결론 Q가 있습니다. 배중률에 따라 Q는 참이거나 거짓이겠죠. 맨먼저 우리는 Q가 거짓이라는 사실을 전제해보는 겁니다. 바꿔 말하면 ~Q가 참이라는 사실을 전제하는 거죠. 그런데 이러한 가정에서 논리를 전개했을 때 그 결과 모순이 발생한다면 ~Q가 참이라는 가정이 잘못되었다는 것을 뜻합니다. 다시말해 ~Q가 거짓임이 드러난 거죠. 따라서 최종적으로 우리는 진리표에 따라 ~Q가 거짓이므로 Q는 참이라는 사실을 도출할 수 있는 것입니다. Q와 ~Q 둘 중 하나는 참이어야 하기 때문이죠. 혹시 이해가 안 되셨을 분들을 위해 예를 들어 보겠습니다.
한 번 다음의 명제를 귀류법을 통해 증명하는 겁니다.
Q : 철수는 학생이다
다만 한 가지 조건은 다음의 P 명제가 이미 참인 전제로 주어졌다고 가정하겠습니다.
P : 철수는 학생들만 다니는 모임에 다닌다.
문제를 푸는 방법은 간단합니다. 먼저 철수는 학생이다 라는 Q 명제의 부정인 not Q를 전제로 가정하는 거죠. 그 결과 P와 not Q는 동시에 성립할 수 없는 모순 관계라는 사실을 알 수 있습니다. 왜냐하면 P명제 대로 철수가 학생들만 다니는 모임에 참여한다면 철수가 학생이 아니라는 Q명제는 거짓이기 때문입니다. 즉 ~Q가 참이라는 가정이 잘못되었다는 거죠. 따라서 우리는 최종적으로 진리표에 따라 ~Q가 거짓일 때 Q는 참이라는 사실을 알 수 있는 것입니다. 이처럼 귀류법은 도출하고자 하는 결론의 부정을 가정하고서, 그것이 모순에 이른다는 사실을 밝혀냄으로써 목표 결론이 참이라는 사실을 도출하는 방법이라 할 수 있습니다.
이상으로 부정에 대한 내용을 간단히 살펴봤습니다. 포스팅 초반에 부정이란 단지 본 명제의 내용을 부정하는 것이라 말씀드렸죠. 하지만 사실 이것은 논리학적으로 엄밀한 정의는 아닙니다. 연언 기호가 ‘그리고’라는 말의 일상적 의미와 동의어가 아니었듯이 부정 기호 역시 마찬가지로 ‘무엇이 아니다’라는 말과 동의어라 할 수는 없습니다. 부정의 엄밀한 의미는 오직 진리표에 의해서 정의되어야 하겠죠. 진리표에 따라 부정의 진리함수적 의미를 정의한다면 본명제와 항상 반대의 진리값을 가지는 것이라고 정리할 수 있습니다.
오늘의 내용은 여기까지입니다. 읽어주셔서 감사합니다.
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