by
Apr 05. 2024
일일이 세어보지 않고 몇 개인지 알 수 있을까?
일일이 하나씩 세어보지 않고도
모두 몇 개인지 알 수 있는 방법은 없을까요?
이 생각은 며칠 전 우리 집 어린이 덕분에 하게 됐습니다.
10년째 자동차 덕후 인생을 살고 있는 어린이는 <탑기어>라는 자동차 잡지를 수집하고 있는데요. 자신의 책장에 발간순서대로 정리해 놨어요. 그래야 보고 싶은 잡지를 찾기 쉽다고 해요. 한 권 한 권 다 지정석이 있답니다. 이 배열이 흐트러지는 일은 아직까지 못 봤어요.
이 날도 책장 앞에서 몇 월호를 꺼내 읽을까 고심하던 어린이가 갑자기 이런 혼잣말을 하더라고요.
탑기어를 창간호부터 모았다면
지금 책장이 얼마큼 찼을까?
냉큼 낚아챘습니다.
"책장 한 칸에 탑기어가 몇 권 들어가?"
"어림잡아 50권?"
"어림하지 말고 정확하게 몇 권 들어갈까?"
'정확하게'란 말에 세어보려고 하더라고요. 그래서 생각의 미끼를 던졌습니다.
일일이 세어보지 않고
알 수 있는 방법은 없을까?
어린이의 고민이 시작됐습니다.
어린이는 잡지를 물끄러미 보다가 발견했어요. 책장 한 칸을 가득 채운 잡지는 44호부터 84호까지 꽂혀있다는 것을요. 차례대로 배열돼 있고 누락된 잡지는 없어요.
44,45,46...........................84
"44호부터 84호까지 있으니까 책장 한 칸에는 40권이 들어가."
"어떻게 구했어?"
"84에서 44를 뺐어."
"만약에 1호부터 10호까지 있었다면 잡지가 몇 권이야?"
"9권."
"다시 생각해 봐."
"아! 10권이네. 빼고 나서 1을 더해줘야 돼."
"왜 더해줘야 할까?"
"음...........
시작하는 수까지 빼버린 거니까. 그걸 더해줘야 돼."
"맞아. 그럼 44호부터 84호까지는 모두 몇 권이야?"
"41권."
"오 맞아 맞아."
"만약에 내가 탑기어를 창간호부터 모았다면 이번달이 103호니까........... 2칸 반 정도 찼겠구나. 지금보다 1칸이 더 많았겠네.
2015년 10월 창간호부터 <탑기어>를 수집했더라면 아마 옆의 빈칸도 빼곡해졌을 거예요.
이날 어린이와의 대화 후, '수세기'에 대한 글을 써야겠다고 마음먹었어요. 여러분은 수세기 자신 있으세요?
아니 그건 아기들도 다 하는 거잖아요. 수 못 세는 어른이 어딨어요. 맞아요. 우린 어릴 때부터 열심히 수를 셉니다. 인형이 모두 몇 개야? 하나 둘 셋 넷 다섯! 다섯 개야.라면서.
1,2,3................................n
1부터 n까지의 자연수가 있다고 할 때, 자연수는 모두 몇 개인가요? 맞아요. n개입니다. 맨 마지막 수만큼 있습니다.
1,2,3..........에서
마지막 수가 총 개수
그런데 1부터 시작하지 않는다면요?
5,6,7..............................100
5부터 100까지의 수는 모두 몇 개일까요? 세 가지 방법이 있어요.
(1)
1~100까지는 100개이죠.
거기서 1,2,3,4
5 앞의 수 4개를 빼는 거예요.
100-4=96
그래서 96개
(2)
이렇게도 할 수 있어요.
100-5=95
100에서 5를 빼준 다음, 1을 더하는 겁니다.
95+1=96
그래서 96개
우리는 (+1)을 절대 잊어선 안 돼요.
또 이렇게 생각해 볼 수도 있어요. 1부터 시작하면 마지막 수가 총 개수라는 걸 이용하는 거예요.
(3)
5,6,7...........................100
5를 1로 만들어 볼게요.. 5를 1로 만들려면 4를 빼줘야 합니다. 모든 수에서 다 4를 뺍시다. 그러면
1,2,3..........................96 이 되니까
모두 96개. 앞의 수를 1로 만드니까 수세기가 갑자기 너무 쉬워졌어요. 당연하고도 신박한 수세기 방법입니다.
아까 잡지를 세는 문제도
44,45,46......................84
44를 1로 만들면 됩니다. 모든 수에서 공평하게 43을 빼주면,
1,2,3...........41
그래서 모두 41권
다음 문제도 도전해 보세요.
1부터 100까지
짝수이면서 3의 배수인 수는
모두 몇 개일까요?
이 문제 어떻게 푸시겠어요? 우선 짝수부터 다 쓸까요.
2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,36,38,40,42,44,46,48,50,52,54,56,58,60,62,64,66,68,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,96,98,100
여기서 3의 배수를 찾아볼까요.
2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,36,38,40,42,44,46,48,50,52,54,56,58,60,62,64,66,68,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,96,98,100
물론 이렇게 해도 됩니다. 시간이 많이 걸릴 뿐. 그런데 이렇게 하나씩 하다 보면 어느 순간 감이 옵니다. 여러분은 찾으셨는지요. 짝수이면서 3의 배수인 수는 6의 배수입니다. 즉 이 문제는 1~100까지의 수에서 6의 배수가 모두 몇 개인지를 묻는 문제였어요. 이제 어떻게 할까요.
6,12,18,24.........................96
또 일일이 다 쓸까요? 아니요. 그러지 않아도 돼요. 우리에겐 첫수를 1로 만드는 마법이 있으니까요.
6을 1로 만들려면 어떻게 해야 할까요. 6으로 나눠주면 됩니다.
6÷6=1, 12÷6=2, 18÷6=3.................96÷6=16
모든 수를 다 6으로 나눠줍니다.
1,2,3...........................16
그래서 모두 16개. 1부터 100까지의 수 중 6의 배수는 모두 16개입니다.
이번엔 난이도를 조금 높여볼게요.
4,7,10,13.....................97
이 규칙대로 수를 배열했을 때 수는 모두 몇 개일까요? 이번 수들은 앞선 수들과는 달라요. 4부터 시작해서 3씩 커집니다.
우린 첫 수를 또 1로 만들어야 하는데 4를 1로 만들려면 어떻게 해야 할까요? 4로 나눠줄까요? 그러면 다음수 7이 2가 안 돼요. 3을 빼줄까요? 그러면 7은 4가 되는군요. 한 번에 안 된다면 몇 단계를 거칠 수도 있어요.
먼저 모든 수에서 1씩 빼주겠습니다.
3,6,9,12.......................96
이제 방법이 보이시지요. 3을 1로, 6을 2로, 12를 3으로 만들려면? 네 맞아요. 3으로 나누어주면 됩니다.
1,2,3,4.........................32
그래서 모두 32개.
아니면 식을 세워서도 할 수 있습니다.
4,7,10,13......................97
4에서 시작해서 3씩 커지니까 2번째 수는 4에다 3을 더하고 3번째 수는 4에다 3×2인 6을 더하고, 4번째 수는 4에다 3×3인 9를 더합니다.
그래서
n번째 오는 수는
4+3(n-1) 이라는 식을 만들 수 있어요.
이를 토대로 방정식을 만들면
4+3(x-1)=97
3(x-1)=93
x-1=31
x=32
32번째 오는 수가 97이니까
모든 수의 개수는 32개
아마 중학생이상부터는 이렇게 모르는 수를 미지수로 놓고 방정식 풀이를 이용할 겁니다. 하지만 수세기는 아주 간단한 원리 하나만 알면 할 수 있어요. 그게 뭐였죠?
1,2,3.....에서
맨 마지막 수가 총 개수
