by
Apr 20. 2024
두루마리 휴지가 어느 순간 훅훅 줄어드는 이유는?
두루마리 휴지는 처음엔 아무리 써도 줄어드는 거 같지 않다가 어느 순간부터 눈에 띄게 훅훅 줄더니 금세 앙상한 휴지심만 남깁니다. 아직은 충분하다고 안심했는데 갑자기 끝과 마주하면 난감하죠. 대체 왜 그런 걸까요. 오늘은 그 이유를 수학적으로 풀어보려 합니다.
두루마리 휴지는 입체도형입니다. 원기둥인 휴지심에 겹겹이 휴지가 말려있는 형태예요. 가운데가 뚫린 원기둥이라고 보시면 됩니다. 휴지를 사용할수록 원기둥의 높이는 그대로이지만 밑면의 지름은 계속 줄어들어요.
제품마다 사이즈의 차이는 있겠습니다만, 저희 집에서 애용하는 깨끗한 나라 국적의 두루마리 휴지로 계산해 보겠습니다.
미사용 새 휴지의 스펙을 소개할게요.
밑면의 반지름은 7cm
휴지심의 반지름은 2cm
휴지심을 제외한 두께는 7-2=5, 5cm
높이는 10.5cm 입니다.
휴지심에 말린 새 휴지의 두께가 5cm이니까, 이것의 절반인 2.5cm가 됐을 때 바로 사용을 중지하고 실험에 투입시켰습니다.
휴지의 두께가 5cm에서 2.5cm로 줄었을 때, 휴지의 양이 얼마나 줄어들었는지는 '부피'를 구하면 알 수 있어요. 전체 원기둥의 부피에서 휴지심의 부피를 뺀 만큼이 휴지의 부피입니다.
전체 부피 - 휴지심 부피 = 휴지 부피
원기둥 부피 구하는 공식을 소환해 보겠습니다.
원기둥 부피 공식
= 밑면의 넓이 × 높이
= πr²× h
(π는 원주율, r은 밑면의 반지름, h는 높이)
(1) 미사용 휴지의 부피
먼저 사용하지 않은 새 휴지의 부피를 구해보겠습니다.
전체 원기둥의 부피를 구한 후, 휴지심의 부피를 빼면 휴지의 부피를 알 수 있어요.
● 전체 부피
πr²× h
= π × 7² × 10.5
= 514.5π (cm³)
● 휴지심 부피
πr²× h
= π × 2² × 10.5
= 42π (cm³)
● 휴지의 부피 (전체 부피-휴지심 부피)
= 514.5π - 42π
= 472.5π (cm³)
새 휴지의 부피는 472.5π (cm³)입니다.
(2) 사용 후 남은 휴지의 부피
새 휴지 두께의 절반을 사용한 휴지의 부피를 구해볼 텐데요. 이번에도 역시 전체 원기둥 부피에서 휴지심 부피를 빼서 남은 휴지의 부피를 계산해 볼게요.
● 전체 부피
πr²× h
= π × 4.5² × 10.5
= 212.6 π (cm³)
● 휴지심 부피
πr²× h
= π × 2²× 10.5
= 42π (cm³)
● 사용 후 남은 휴지의 부피 (전체 부피 - 휴지심 부피)
= 212.6π - 42π
= 170.6π (cm³)
사용하고 남은 휴지의 부피는 170.6π(cm³)입니다. 새 휴지의 부피는 514.5π(cm³)인데 쓰고 남은 휴지의 부피는 170.6π(cm³)입니다. 그렇다면 휴지가 얼마나 줄어든 거죠?
514.5π-170.6π=370.9π
370.9π(cm³)이 줄었습니다.
두루마리 휴지의 두께는 5cm에서 2.5cm로 절반이 줄었으니까 휴지도 절반이 남았겠거니 예상했지만 계산해 보니 반 이상 줄었어요. ½이 아닌 ⅔가량 사용한 셈입니다. 그러니 남은 휴지는 ⅓밖에 되지 않아요. 눈으로 보는 것보다 실제로는 휴지가 훨씬 적게 남아있는 거예요. 휴지 뭉치가 작아지기 시작하면 금방 없어지는 이유가 이 때문입니다.
휴지 두께가 절반으로 줄어든 경우로 계산해 봤지만, 만일 반지름 자체가 절반으로 줄어든다면 어떨까요.
새 휴지는 반지름이 7cm니까 이것의 절반은 3.5cm입니다. 휴지심의 반지름 2cm를 빼면 1.5cm가 되네요.
원기둥 부피의 공식을 다시 살펴보면,
πr²× h 이지요.
여기서 π는 원주율이니까 항상 일정하고 휴지는 아무리 사용해도 높이는 줄어들지 않죠. 따라서 π와 h(높이)는 변함이 없어요. 휴지의 부피는 오로지 r(반지름)에만 영향을 받습니다. 정확히는 r²값에 비례합니다.
휴지의 부피는
밑면 반지름의 제곱에 비례
