수를 숫자가 아닌 점으로 상상할 수 있다면?

여러분은 '다섯'하면 뭐가 떠오르세요? '5'가 가장 먼저 떠오르시나요? 사실 5는 다섯의 본질이 아니에요.

자동차가 다섯 대

사람이 다섯 명

사과가 다섯 개

양말이 다섯 켤레

연필이 다섯 자루

이 모두가 다 '다섯'이에요. 5는 이를 나타내는 기호입니다. 5라는 건 뭔가가 ●●●●●만큼 있다는 거예요. 그걸 배제하고 수를 숫자로만 대하면 수학이 재미없어요. 의미는 모른 채 계산만 하는 게 무슨 의미가 있겠습니까. 숫자에 담긴 '양'을 파악하고 있어야 해요. 오늘은 그 양을 점으로 대체해 볼게요.

우리가 수를 숫자가 아닌 점으로 상상할 수 있다면 수학은 한결 재밌어집니다. 오늘은 상상력을 발휘해 봅시다.

(1) 홀수와 짝수 

여러분 홀수가 뭐지요? 짝수는 또 뭔가요? 홀수는 1,3,5,7,9..... 짝수는 2,4,6,8,10.... 물론 이것도 맞습니다. 하지만 이 답은 반쪽짜리 수학이에요.

여기 이만큼의 바둑돌이 있습니다. 홀수개일까요, 짝수개일까요?

하나 둘 셋 넷.... 모두 29개입니다. 9로 끝나니까 홀수겠군요. 정녕 일일이 세는 수밖에 없을까요.

자연수는 짝수 아니면 홀수, 둘 중 하나입니다.

둘씩 짝을 지었을 때, 짝이 맞으면 짝수.

둘씩 짝을 지었을 때, 하나가 홀로 남으면 홀수.

이 수많은 바둑돌을 일일이 세어볼 게 아니라 둘씩 짝을 지어보면 됩니다.

하나가 남았으니까 홀수로군요.

중학교 수학에서 짝수를 2n, 홀수를 2n-1이라고 배우는 이유입니다. 수를 점으로 상상하면 너무나도 자연스럽습니다.

(2) 곱셈의 교환법칙 

여러분 곱셈의 교환법칙, 기억나세요? 교환법칙이 뭔가요. 순서를 바꿔서 곱해도 값이 같다는 것이 곱셈의 교환법칙입니다. a×b=b×a가 됩니다.

우리는 열심히 외운 구구단 덕분에 3×7=21, 7×3=21 라는 것을 알기에 3×7=7×3을 당연하게 받아들입니다. 하지만 따져보면 그리 간단하지 않아요.

3×7은 3을 7번 더했다는 의미입니다

7×3은 7을 3번 더했다는 뜻이고요.

그러므로

3+3+3+3+3+3+3=7+7+7 라는 건데, 이게 바로 와닿으시나요. 숫자로만 보면 어려워요. 교환법칙이 성립하는지 확실치 않습니다.

이걸 점으로 생각해 보자고요.

점이 3개씩 7줄 있습니다. 이걸 옆으로 돌려보면, 점이 7개씩 3줄로 있는 것과 같습니다.

그렇기에 3×7=7×3 입니다.

수를 점으로 상상하면 교환법칙도 직관적으로 이해됩니다.

(3) 소수 

수학에서 소수(素數)는 아주 특별한 수입니다. 약수가 1과 자기 자신 뿐인 수를 '소수'라고 하는데요. 도도하고 고고한 수이죠. 1과 자기 자신 외에 그 어떤 수로도 나누어 떨어지지 않기에 소수는 일렬로만 놓을 수 있습니다. 소수는 절대 사각형이 될 수 없는 운명을 타고났어요.

2,3,5,7은 절대 사각형이 될 수 없는 수예요.

한 줄로만 놓을 수 있으니 소수입니다. 

8은 어떤가요.

사각형이 되었으니 8은 소수가 아니에요. 합성수입니다.

9를 볼까요.

9는 홀수라서 사각형이 될 수 없을 거 같지만, 이렇게 정사각형이 됩니다. 9는 소수가 아닙니다.

10은 어떨까요.

10도 사각형을 만들 수 있어요. 10 역시 소수가 아닙니다.

11은 이리저리 애써봐도 사각형이 될 수 없어요. 한 줄로만 놓일 뿐입니다.

11을 나눌 수 있는 수는 1과 11밖에 없어요. 11은 소수입니다.

반면 12는 다채로워요.

2로도 나눠지고, 3으로도 나눠지고, 4로도 나눠지고, 6으로도 나눠지니까요. 12는 사각형이 되니까 소수가 아니에요.

이처럼 수를 점으로 상상하면 소수인지 합성수인지 그 수의 정체가 확실해집니다.

(4) 연속수의 합 

다음 수들을 더해보세요.

1+2+3+4+5

여러분은 어떻게 계산하셨나요. 앞에서부터 순서대로  더하셨을까요? 아니면 두 수끼리 짝을 지어 더하셨을까요? 혹시 이미지를 사용한 분도 계실까요.

우선 이 수들을 점으로 늘어놔볼게요.

정중앙에 위치한 3을 기준으로 좌우로 수가 두 개씩 있습니다.

5가 1에게 2를 주고, 4는 2에게 1을 주면 모두 키가 3으로 맞춰집니다. 

평균값이 3이에요. 3이 5개 있으니까,

3×5=15

이 원리를 알면 큰 수 더하기도 간단해져요.

81+83+85+87+89

가운데 85를 기준 삼고 89가 81에게 4를 주고, 87은 83에게 2를 주면 평균값은 85가 됩니다. 85×5를 하면 쉽게 구할 수 있어요.

81+83+85+87+89=85×5=425

(5) 삼각수 

이번엔 더하는 수를 좀 더 늘려보겠습니다.

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

여러분은 어떻게 더하시겠어요?

앞에서부터 차근차근 계산할 수도 있겠고요.

1+2=3

3+3=6

6+4=10

10+5=15

15+6=21

21+7=28

28+8=36

36+9=45

45+10=55

앞서 해봤던 평균값을 이용해서도 풀 수 있어요.

(1+2+3+4+5+6+7+8+9)+10

1~9에서 가운데는 5이니까 평균값은 5가 되겠지요. 5가 9개 있는 셈이니까 5×9=45, 여기에 마지막 수 10을 더해주면 45+10=55

가장 많이 하는 방법은 둘씩 짝을 짓는 겁니다. (1+10)+(2+9)+(3+8)+......=11×5=55

이 문제도 점으로 상상할 수 있습니다. 

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

이 수들을 점으로 표현해 보면,

이런 모습입니다. 삼각형 모양이지요. 그래서 이런 수를 '삼각수'라고 합니다.

1,3,6,10,15... 모두 삼각수입니다.

중요한 것은 점의 개수인데요. 점이 모두 몇 개인지 짐작이 가시는지요. 까마득하기만 합니다. 그런데 말입니다.  똑같은 삼각형을 한 개 더 만들어서 뒤집어 붙이면 어떨까요?

점이 가로에는 10개보다 1개 더 많은 11개가 있고, 세로에는 10개가 있습니다. 11개씩 10줄이 있는 거예요. 11×10=110, 점은 모두 110개예요. 그런데 우리가 아까 삼각형을 하나 더  상상하고 셈했으니까 실제 개수는 이것의 절반인 55개가 됩니다. 

(10+1)×10÷2=55

이번엔 좀 더 확장해 볼까요.

1+2+3+...........+100

어마어마한 수이지만 이 수 역시 삼각수입니다. 맨 아래에는 점이 100개 있을 거예요. 똑같은 삼각형을 하나 더 만들어 뒤집어 붙인다고 상상해 봅시다. 그러면 가로에는 점이 101개, 세로에는 100개가 있어요. 101×100=10100, 10100개인데 실제 개수는 이것의 반인 5050개입니다.

(100+1)×100÷2=5050

이것을 고등학교에 가면,

n번째 삼각수를 구하는 공식으로  ½ n(n+1) 을 배워요. 수를 점으로 상상하면 복잡해 보이는 이 공식 역시 끄덕끄덕 납득이 됩니다.

(6) 사각수 

이번엔 이 덧셈 문제에 도전해 보세요.

1+3+5+7+9+11+13+15+17+19

이 문제도 풀이방법은 여러 가지예요. 여러분은 어떤 방법을 택하셨나요?

앞에서부터 차례차례 착실하게 더해줄 수도 있고요.

1+3=4

4+5=9

9+7=16

16+9=25

25+11=36

36+13=49

49+15=64

64+17=81

81+19=100

둘씩 짝을 지어 더할 수 있습니다. (1+19)+(3+17)+(5+15)+(7+13)+(9+11)=20×5=100

또 어떤 방법이 있을까요?

1+(3+5+7+9+11+13+15+17+19)

첫 수인 1을 제외하고 보면 11이 가운데 수예요. 그러면 3부터 19까지의 수들은 평균값이 11입니다. 11×9=99 거기에 첫 수 1을 더하면 (11×9)+1=99+1=100

이 문제도 점으로 상상해서 풀 수 있습니다. 

1+3+5+7+9+11+13+15+17+19

1부터 차례대로 더해볼게요. 점을 꺾이게 배치하면 이런 모양이 됩니다.

더할 때마다 정사각형이 되지요. 점으로 정사각형을 만들어 나타내는 수를 '사각수'라고 합니다.

1,4,9,16,25.... 는 사각수입니다. 영어로도 말 그대로 Square Number라고 해요.

BBC의 <Number blocks> 애니메이션에서는 숫자 1,4,9가 스퀘어넘버로 불립니다. 캐릭터 별명이 아니라 실제 수학용어라서 감탄했더랬습니다. 

사각수를 자세히 보면 연속한 홀수의 합으로 이뤄져 있다는 걸 알 수 있어요.

홀수를 1개 더하면 1

홀수를 2개 더하면 1+3=2²=4

홀수를 3개 더하면 1+3+5=3²=9

홀수를 4개 더하면 1+3+5+7=4²=16

홀수를 5개 더하면 1+3+5+7+9=5²=25

어떤 규칙인지 감이 오시지요? 홀수를 몇 개 더하느냐를 헤아리면 돼요. 그 수의 제곱이 바로 점의 개수입니다. 그래서 사각수는 '제곱수'이기도 해요. n번째에 오는 사각수는 n²입니다.

그렇다면

1+3+5+7+9+11+13+15+17+19는 어떻게 구할까요?

홀수가 10개이니까 10²을 하면 100입니다.

이제 아래 점들이 달리 보이지 않으세요? 홀수는 아름답고 점의 배열은 우아합니다.

수를 점으로 상상할 수 있다면
수학이 즐거워져요.