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May 10. 2024
45×45를 암산하는 방법은?
45×45는 45를 두 번 곱한 수입니다. 45²과 같지요. 여러분은 암산해서 답을 구하실 수 있나요? 사실 암산 가능 여부는 중요하지 않습니다. 이 질문을 드린 이유는 빠른 계산을 장려하기 위함이 아니라, 곱셈의 원리를 이참에 제대로 파악하자는 의도입니다.
혹시 머릿속에 이런 팝업창 하나 띄우고 푸셨을까요?
이런 세로셈은 필산하는 게 가장 정확합니다. 굳이 암산해야 할 이유는 없어요. 그런데 45×45를 계산하는 방법이 이 방법 하나뿐일까요? 우리 오늘은 다르게 접근해 봐요. 숫자끼리만 지지고 볶는 연산은 재미없잖아요. 오늘은 계산 과정에 담긴 수학의 원리를 시각화해보려 합니다.
먼저 곱셈의 의미부터 생각해 봅시다. 3×5 를 시각적으로 표현하면,
이런 직사각형입니다. 3개씩 5줄이 있어요. 3과 5를 곱한 값은 이 직사각형의 넓이와 같습니다.
그렇다면 13×5는 어떨까요.
가로는 13, 세로는 5인 직사각형입니다. 좀 더 보기 쉽게 바꿔볼게요. 13은 10+3이니까 이렇게 나눌 수도 있습니다.
보기가 한결 편하지 않으세요? 우리는 수가 10 단위로 떨어져야 심적으로 편안함을 느끼잖아요. 계산도 훨씬 수월해지고요.
이제 직사각형이 두 개가 됐어요. 두 직사각형 넓이의 합은 전체 직사각형 넓이와 같아요. 검은 직사각형의 넓이는 (10×5), 흰 직사각형의 넓이는 (3×5)입니다. 이 둘을 더한 (10×5)+(3×5)는 전체 직사각형의 넓이예요.
여기서 우린 알 수 있습니다.
13×5=(10+3)×5=(10×5)+(3×5) 라는 것을요.
이게 바로 그 유명한 '분배법칙'입니다. 분배법칙이 뭐였더라, 기억이 날듯 말듯 뭔가 알듯 말듯 하신가요.
우리 모두 중학교 수학시간에 열심히 배웠었어요.
a(b+c)=ab+ac
곱셈으로 연결된 괄호식을 이렇게 전개했었지요. 이걸 그림으로 나타내면 이런 모습입니다. 한변은 a, 다른 한변은 (b+c)인 직사각형이에요.
전체 사각형 넓이는, 두 개의 사각형 넓이를 더한 값과 같으니까 ab+ac가 됩니다.
그래서 a(b+c)=ab+ac
직사각형 넓이 구하기로 곱셈의 분배법칙을 쉽게 이해할 수 있습니다. 이유는 모른 채 무조건 외우기만 했던 분배법칙이 이제야 납득이 됩니다.
23×15도 해봅시다. 23은 (20+3)으로, 15는 (10+5)로 나눠서 직사각형을 그려볼게요.
4개의 직사각형으로 분할됐습니다. 각각의 사각형을 '가, 나, 다, 라'라고 하면,
가의 넓이 : 20×10
나의 넓이 : 20×5
다의 넓이 : 3×10
라의 넓이 : 3×5
전체 사각형의 넓이는,
가+나+다+라
=(20×10)+(20×5)+(3×10)+(3×5)
=200+100+30+15
=345
입니다.
다시 한번 식으로 정리해 봅시다.
23×15
=(20+3)×(10+5)
=(20×10)+(20×5)+(3×10)+(3×5)
=200+100+30+15
=345
이것이 바로 두 번의 분배법칙이 있는
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
이 전개식입니다.
그림으로 다시 보면,
전체 직사각형의 넓이는 (가로×세로)이니까
(a+b)×(c+d)가 됩니다.
각각의 사각형을 '가, 나, 다, 라'라고 하면,
가의 넓이 : a×c =ac
나의 넓이 : a×d=ad
다의 넓이 : b×c=bc
라의 넓이 : b×d=bd
전체 직사각형의 넓이는
=가+나+다+라
=ac+ad+bc+bd
그래서 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd 입니다. 사각형의 넓이로 보니 곱셈법칙도 직관적으로 이해가 쉽습니다.
혹시 이 곱셈의 법칙도 기억나세요?
(a+b)²=a²+2ab+b²
우리 그 당시 정말 열심히 외웠었죠. 근데 식이 왜 이렇게 전개되는지도 기억나실까요? 이것 역시 그림으로 그려보면 쉽게 알 수 있습니다.
이번엔 직사각형이 아니라 정사각형입니다. 가로 세로 모두 (a+b)이지요. 이 정사각형의 넓이는 (a+b)×(a+b)이니까 (a+b)²과 같습니다. (a+b)²을 수학에서는 '완전제곱식'이라고 합니다.
네 개의 사각형을 각각 (가, 나, 다, 라)라고 하면,
가의 넓이 : a×a=a²
나의 넓이 : a×b=ab
다의 넓이 : b×a=ab
라의 넓이 : b×b=b²
전체 정사각형의 넓이는
가+나+다+라
=a²+ab+ab+b²
=a²+2ab+b²
그래서 (a+b)²의 완전제곱식 전개식은
a²+2ab+b² 이 됩니다.
오늘의 문제 45×45, 즉 45² 역시 이 곱셈 법칙을 이용해 풀 수 있습니다. 45는 40+5이니까,
45²
=(40+5)²
=40²+(2×40×5)+5²
=1600+400+25
=2025
앞의 수를 제곱한 수와 두 수의 곱에 2를 곱한 수를 더하고, 뒤의 수를 제곱한 수까지 더하면 끝.
이걸 시각화해 보면,
가의 넓이 : 40×40=40²
나의 넓이 : 40×5
다의 넓이 : 40×5
라의 넓이 : 5×5=5²
전체 사각형의 넓이는,
가+나+다+라
= 40²+(2×40×5)+5²
=1600+400+25
=2025
원리를 알았으니 이제 여러분은 101²도 거뜬히 암산하실 수 있어요. 큰 수라서 어렵겠다고요? 절대 그렇지 않아요. 미리 겁먹지 마세요. 101이 (100+1)임을 눈치채셨다면 이미 이 문제의 절반은 푸신 거나 다름없어요. 시작이 반이니까요. 이런 정사각형을 상상해보세요.
