by
May 18. 2024
음수 곱하기 음수는 왜 양수일까?
(+)×(+)=(+)
(-)×(+)=(-)
(-)×(-)=(+)
우린 중학교 때 이렇게 배웠었어요. 묻지도 따지지도 않고 무작정 외웠었지요. 왜 그 당시에는 이유를 궁금해하지 않았을까요?
이런 생각을 그때 했더라면 훨씬 좋았겠지만 어른이 된 지금이라도 궁금증을 해결해보려고 해요. 우리 함께 생각해 봐요.
1. (+)×(+)=(+)
양수 곱하기 양수는 양수. 사실 이건 너무나 당연합니다. 곱셈(×) 자체가 덧셈(+)을 편리하게 표기하고자 만들어낸 기호니까요.
예를 들어 2를 다섯 번 더한 것을 2+2+2+2+2라고 일일이 쓰기 귀찮으니까 다섯 번 더했다는 의미로 (×5)를 사용하게 된 거예요. 2+2+2+2+2는 2×5와 같습니다. 곱셈식이 덧셈식보다 훨씬 간결하죠.
양수는 자연수인데 자연수를 한 개 이상 더하면 당연히 자연수일 수밖에 없어요. 그래서 양수 곱하기 양수는 언제나 양수입니다.
2. (-)×(+)=(-)
음수 곱하기 양수는 음수. 이건 왜 그런 걸까요? 음수에 양수를 곱했다는 것은 음수를 양수번만큼 더했다는 의미인데요.
(-2)×5이라고 해봅시다. (-2)×5=(-2)+(-2)+(-2)+(-2)+(-2)인데요. (-2)를 다섯 번 더하면 (-10)입니다.
내가 마이너스 통장에서 2만 원씩 다섯 번 인출했다고 칩시다. 내 통장 잔고는 -10만 원이에요. 입금은 없고 출금만 계속된다면 내 통장은 영원히 마이너스일 거예요. 하늘이 두쪽 나도 결코 플러스가 될 리 없어요. 그래서 음수 곱하기 양수는 항상 음수입니다.
3. (-)×(-)=(+)
그렇다면 음수에 음수를 곱하면 왜 양수가 되는 걸까요. 곱셈의 의미를 떠올려보면서 (-2)×(-3)를 계산해 보겠습니다. (-2)×(-3)는 (-2)를 (-3)번만큼 더했다는 건데 이게 말이 되나요? 말이 안 되죠. 수학에 모순이 발생했습니다. 그럴만한 이유가 있어요. 음수의 개념은 곱셈의 개념보다 훨씬 후에 생겼기 때문이에요.
곱셈의 흔적은 대부분의 고대 문명에서 발견됐습니다. 반면 음수는 수세기동안 인정받지 못했어요. 수학자에게조차 셀 수 없는 수는 엉터리수라는 취급을 받았죠. 음수의 개념은 17세기가 지나서야 받아들여졌어요. 사정이 이렇다 보니 같은 수를 여러 번 더한다는 의미의 곱셈이 음수에 적용되지 않았습니다.
하지만 수학은 논리의 학문입니다. 모순이 있다면 그 개념 자체가 불가해요. 새로운 기호와 규칙은 계속 생겨날 수 있지만 기존의 개념과 모순되지 않도록 주의해야 합니다. 그래서 수학계에서는 음수 곱하기 음수는 양수라고 아예 못 박았어요. 음수 곱하기 음수를 양수라고 정하지 않으면 어째서 모순이 발생하는지 증명해 봅시다.
우선 짚고 넘어갈 게 있어요
□×1=□
□×0=0
어떤 수에 1을 곱하면 그 수를 한번 더한 거니까 그대로 그 수가 됩니다. 그리고 어떤 수에 0을 곱한다는 건 0번을 더한 거니까 0이 되고요. 이건 수학에서 정한 약속이에요. 잘 기억해 두세요.
(-1)×(-1)이 왜 (+1)이 될 수밖에 없는지 증명 시작합니다. 천천히 흐름을 따라오세요.
(1) 1-1=0
1을 뺐다는 것은 (-1)을 더한 것과 같으니 이렇게 바꿔 쓸 수 있어요.
(2) 1+(-1)=0
등호(=)는 좌변과 우변이 같음을 의미합니다. 양변에 같은 수를 더하거나 빼거나 곱하거나 나눠도 등호 관계는 성립하므로 좌변과 우변에 똑같이 (-1)을 곱합니다.
(3) (-1)×{1+(-1)}=(-1)×0
그런데 어떤 수에 0을 곱하면 0이 되니까 우변의 값은 0입니다. 이 식을 다시 정리해 볼게요.
(4) (-1)×{1+(-1)}=0
이 식을 분배 법칙으로 전개해 보겠습니다. 분배법칙이란, a×(b+c)=ab+ac
(5) {(-1)×1}+{(-1)×(-1)}=0
(-1)×1은 (-1)을 한번 더한 값이니까 그대로 (-1)이 됩니다. 식을 다시 정리하면 이렇게 되겠죠.
(6) (-1)+{(-1)×(-1)}=0
여기서 {(-1)×(-1)}을 한 덩어리라고 여기고 □라고 해봅시다.
(-1)+□=0
(-1)에 어떤 수를 더해야 0이 될까요?
□=1 일 수밖에 없습니다.
그래서, (-1)×(-1)=1, 즉 (+1)이 됩니다.
