생일이 같은 사람이 있을 확률은?

여러분은 자신과 생일이 같은 사람을 본 적 있으세요? 태어난 년도는 상관없이 태어난 날짜가 나와 같은 사람은 얼마나 될까요. 오늘은 이 궁금증을 수학으로 해결해보려고 합니다.

만약 한 장소에 30명의 사람이 모여있다고 상상해 봅시다. 커피숍일 수도 있고 버스 안일 수도 있고 마트일 수도 있고 식당일 수도 있고 극장일 수도 있습니다. 그중에 생일이 같은 사람은 있을까요? 없을까요? 있다면 몇 명 정도 있을까요?

1년은 365일이나 되고(윤년 제외) 누구나 그 365일 중 어느 특정 하루에 태어납니다. 하고많은 날들 중 누군가와 생일이 정확히 그 날짜로 딱 겹칠 확률은 얼핏 가늠해 봐도 그다지 높을 거 같지 않아요. 그런데 직감이 아닌 수학으로 접근하면 결과는 전혀 달라집니다.

30명 중에
생일이 같은 사람이
있을 확률은 70% 이상

한 공간에 30명만 있어도 그 안에 생일이 같은 사람이 있을 확률은 무려 70%가 넘습니다. 에이 설마 그럴 리가 말도 안 돼. 도무지 믿기지 않으신다고요? 지금부터 하나씩 차근차근 수학으로 풀어봅시다.

우선 '확률'에 대해 알 필요가 있습니다. 확률은 어떤 결과가 나타나는 비율을 뜻합니다.

만약 통에 마이쮸만 가득 넣어두고 아이에게 눈감고 딱 하나만 뽑으라고 했을 때 아이가 마이쮸를 뽑을 확률은? 1입니다. 100번을 뽑아도 항상 손에 잡히는 것은  마이쮸일 테니 확률은 100/100 즉 1이 됩니다. 그렇다면 그 통에서 말랑카우를 뽑을 확률은 얼마나 될까요? 0입니다. 통에는 말랑카우가 하나도 없으니까요. 연속 100번을 뽑아도 말랑카우는 절대 손에 안 잡힙니다. 0/100은 0일 수밖에 없어요.

절대로 일어나지 않을 확률은 0, 반드시 일어날 확률은 1. 그렇기에 확률은 어떤 경우에도 0보다 크거나 같고 1보다 작거나 같습니다.

확률은
0보다 크거나 같고
1보다 작거나 같다

동전을 던지면 앞면 아니면 뒷면이 나옵니다. 그 외의 경우는 생기지 않아요. 모든 경우의 수는 2입니다. 따라서 동전을 던졌을 때 뒷면이 나올 확률은 ½입니다. 앞면이 나올 확률도 ½이고요.

두 개의 주사위를 던졌을 때 주사위 눈이 같게 나올 확률은 얼마일까요? 먼저 모든 경우의 수를 먼저 헤아려봅니다.

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

모두 36가지예요.

여기서 두 개의 주사위가 같게 나올 때는

(1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6,6)

6가지이죠.

그래서 두 개의 주사위에서 똑같은 수가 나올 확률은 6/36 즉 1/6입니다.

두 개의 주사위가 서로 다르게 나올 확률은 어떻게 구할까요? 전체 확률 1에서 1/6을 빼주면 됩니다. 1-1/6은 5/6입니다.

확률은 분수나 소수로 나타내기에 그 크기가 쉽게 와닿지 않습니다. 이런 불편을 해소하기 위해 수학에서는 %를 사용해요. 이를 '백분율'이라 하는데 전체를 1로 보는 확률과는 달리, 백분율은 전체를 100으로 보는 겁니다. 확률에 100을 곱하면 %가 됩니다. 확률 0.78=78%인 거죠. 자연수로 나타내니 훨씬 알아보기 쉽습니다.

확률에 100을 곱하면 %

확률에 대해 기본적인 내용을 알았으니, 이제 우리의 본론으로 돌아가봅시다.

한 공간에 30명이 있을 때, 생일이 같은 사람이 있을 확률을 계산해 볼 텐데요. 먼저 전체 경우의 수부터 따져볼게요. 한 사람당 선택지가 365개 있습니다. 우리는 1년 365일 중 하루에 태어났으니까요. 모두 30명이니 전체 경우의 수는 365를 무려 30번 곱해야 합니다.

365×365×365×..........×365

엄청난 수죠?

이 중에서 생일이 같을 확률을 구한다는 건 상당히  복잡하고 어렵습니다. 왜냐하면 30명 중에 생일이 같은 사람이 두 명 일수도 있고 세 명일수도 있고 다섯 명 일수도 있으니까요. 나올 수 있는 경우의 수가 굉장히 많습니다.

이럴 때는 발상을 전환해야 합니다. 반대의 경우를 생각하는 것이 훨씬 쉬워요. 30명의 생일이 모두 다른 경우를 계산한 후 그것을 전체 확률 1에서 빼주는 겁니다.

즉 다시 말해서,

생일이 같은 사람이 한 사람이라도 있을 확률은 생일이 같은 사람이 한 사람도 없을 확률을 알면 해결됩니다.

1- (30명 모두 생일이 다를 확률)

1호와 2호가 생일이 같을 확률은 1/365입니다. 생일이 같지 않을 확률은 364/365입니다. 1년 365일 중 1호의 생일날짜를 뺀 나머지 날이 364일이니까요. 전체확률 1에서 1/365를 빼면 364/365입니다.

이번에는 3호가 1, 2호 두 명과 생일이 같지 않을 확률을 구해봅시다. 1호와 2호의 생일이 1년 중 2일이므로 3호의 생일이 나머지 363일 중에 하루일 확률은 363/365입니다. 그러면 1호와 2호의 생일이 다르면서 3호의 생일까지 다를 확률은

364/365 × 363/365=0.9918=99.18%

반대로 생각해 보면, 1 2 3호 중 생일이 같은 사람이 있을 확률은

100-99.18=0.82

0.82%입니다. 가능성이 희박하군요.

4호의 생일이 1,2,3호와 다를 확률은 362/365. 그러면 1호, 2호, 3호 4호 네 명의 생일이 모두 다를 확률은,

364/365 × 363/365 × 362/365=0.9836

98.36%입니다.

이번에도 반대로 생각해 볼게요. 네 명의 생일이 모두 다를 확률이 98.36%이니까 생일이 같은 사람이 한 사람이라도 있을 확률은

100-98.36=1.64

1.64%밖에 되지 않습니다.

이런 식으로 사람이 늘어날 때마다 그 사람의 생일이 다를 확률을 곱하면 모든 사람의 생일이 다를 확률을 알 수 있습니다.

23명이 모였을 때 생일이 서로 다를 확률은,

364/365 × 363/365 × ....... × 344/365 × 343/365=0.4927

49.27%입니다.

이 계산대로라면 23명 중에 아무도 생일이 같지 않을 확률은 49.27%입니다. 불과 50%도 되지 않아요. 바꿔 말하면 23명 중에 생일이 같은 사람이 있을 확률은

100-49.27=50.73

50%가 조금 넘습니다. 인원이 늘어날수록 확률도 높아집니다.

그렇다면 30명이 모이면 확률은 어떻게 바뀔까요?

30명의 생일이 모두 다를 확률은,

364/365 × 363/365  × 362/365 ......  × 337/365 × 336/365 = 0.2937

29.37%입니다. 30명 중 아무도 생일이 같지 않을 확률은 30% 이하로 떨어져서 30명 중에 생일이 같은 사람이 있을 확률은 70%를 웃돌게 됩니다. 놀라운 수치죠?

믿을 수 없다면 30명이 모인 자리에서 한번 확인해 보세요. 실제로 확인해 보면 더욱 놀랍거든요.

때로는 직관의 빈틈을
수학이 채워줍니다