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Jun 21. 2024
0÷5는 되는데 5÷0은 안 되는 이유?
0÷5는 뭘까요? 0? 아니면 5?
그렇다면 5÷0 은 뭐지요? 이것도 0? 아니면 5?
어려운 계산은 아닌데 이상하게 알듯 말듯 합니다. 정확한 답을 얻기 위해 계산기를 두드려보겠습니다.
0÷5는 0이 확실하군요.
그런데 5÷0은 답이 없어요. 대신 계산기가 이렇게 알려줍니다.
0으로 나눌 수 없어요
문제 자체가 말이 안 된다는 겁니다. 0을 어떤 수로 나누는 건 되는데, 어떤 수를 0으로 나누는 건 왜 성립하지 않는 걸까요? 0으로 나누면 안 되는 이유가 대체 뭘까요? 혹시 여기에 대해 생각해 본 적 있으신가요? 이참에 우리 함께 생각해 보기로 해요.
우선 나눗셈의 원리부터 제대로 알아야 합니다. 나눗셈에는 두 가지 상황이 있어요.
하나는 <등분제>입니다.
사과 12개를 세 사람이 똑같이 나눠먹으려 할 때 한 사람이 사과를 몇 개씩 먹을 수 있을까?
등분제는 우리가 일반적으로 알고 있는 나눗셈이죠. 나눠갖는 대상의 수가 정해진 상태에서 하나의 대상이 몇 개를 갖는가를 묻습니다. 나눗셈식으로는 12÷3=4라고 나타냅니다. 몫 4는 한 사람당 사과 4개를 갖는다는 걸 의미해요.
다른 하나는 <포함제>에요.
사과 12개를 한 사람당 3개씩 준다면 모두 몇 사람에게 줄 수 있을까?
우리에겐 포함제 상황이 낯설지만 수학적으로는 훨씬 더 많이 사용됩니다. 나눠줄 개수가 정해진 상태에서 몇 개의 대상에게 나눠줄 수 있는가를 묻습니다. 나눗셈식으로는 12÷3 라고 나타내는데, 이는 12에서 3을 몇 번 뺄 수 있냐고 묻는 것과 같습니다.
12-3-3-3-3=0 (4번)
모두 4번 뺄 수 있으니까, 12÷3=4가 됩니다.
몫 4는 모두 4명에게 줄 수 있다는 뜻이에요. 포함제의 나눗셈은 같은 수를 거듭 덜어내는 뺄셈을 간편하게 나타낸 겁니다.
두 가지 상황 다 똑같이 식으로는 12÷3=4 라고 표기하지만, 의미하는 바는 전혀 달라요. 우린 <등분제>와 <포함제>를 구분해서 이해할 필요가 있습니다. 나눗셈에 대해 자세히 알고 싶다면 아래 글도 함께 읽어 보세요.
https://brunch.co.kr/@kimnaya/11
몇 번 뺄 수 있어?
몇 번 뺄 수 있는가라는 포함제의 의미로 생각해 보면, 0으로 나눈다의 의미는 0을 반복해서 빼는 겁니다.
5÷0 은,
5에서 0을 몇 번 뺄 수 있냐고 묻는 거예요. 그런데 0을 빼고 빼고 또 빼도 5는 끄떡없어요. 전혀 줄어들지 않습니다. 5에서 아무리 많은 0을 빼더라도 절대 0이 될 수 없지요. 그렇기에 5÷0의 몫이 얼마인지 결정할 수 없습니다.
이러한 이유로 수학에서는 0이 아닌 어떤 수를 0으로 나누는 것 자체가 불가능해요. 불가능하다는 의미의 '불능' 또는 '정의되지 않음'이 됩니다.
0이 아닌 수 a에 대해
a÷0은 불능
그렇다면 0÷0은 가능할까요?
이 나눗셈도 포함제의 상황으로 생각해 보면, 0에서 0을 몇 번 빼면 0이 되는지 알아보는 것이라고 할 수 있어요.
0-0-0-0-......=0
0에서는 0을 몇 번 빼더라도 0이 됩니다. 따라서 몇 번 빼야 할지를 정할 수 없어요. 무수히 많기에 정할 수 없다는 의미로 0÷0은 '부정'이라고 합니다.
0÷0은 부정
