5) 음수 : 음수끼리 곱하라고?
와닿지 않는 수학의 시작
진도를 조금 나가볼까 한다. 이제 초등학교는 뛰어넘어서 중학교로 가보자. 중학교에서 다루는 수학은 초등학교의 그것과는 양적으로도 질적으로도 차원이 다르다. 그리고 필자는 그 변화에서 가장 큰 부분 중 하나가 이제 더 이상 학생들에게 수학을 쉽고 간단하게 설명하려 하지 않는다는 점이 아닐까 한다. 이제 만약 분수를 배운다면 선생님들이 동그란 파이를 그린 다음 쪼개가며 직접 보여주고 천천히 설명해 주던 시절은 끝났고, 수학을 수학으로써 수학적인 방법을 통해 이해하고 새로운 개념을 탐색해나가야만 하는 시점이 도래한 것이다.
"그럼 간단히 설명해 주면 되잖아요!"
글쎄, 아마 현직의 많은 수학 선생님들이 그 방법을 고민하시지 않을까 싶지만 나는 결국에 수학을 직관적인 방법으로 설명하는 데에 한계가 있다고 생각한다. 수학은 결국 인간의 생각 속에서 피어난 학문이기에 본질적으로 추상적인 성격을 가지며 그 넓이와 깊이 역시 너무나도 방대하기 때문이다. 현실적으로 이 모든 개념과 내용을 직관적인 설명으로 치환하는 것은 너무나도 어렵다. 이것을 뚜렷하게 보여주는 예시가 음수 간의 곱셈이다.
"-1 x -1 = 1이에요."
음수끼리 곱하면 다시 양수가 된다. 음수 자체는 0보다 작은 수를 기술하기 위해 정의한 것은 알겠지만 그 음수 간의 곱셈이라고? 아무리 생각해도 이해가 되지 않던 내용을 그저 나는 암기하고 넘어갔던 것 같다. 그나마 직관적일까 싶은 비유는 언어에서 부정을 부정하면 긍정이 되듯이 -1 끼리 곱하면 양수가 된다 정도 아니었을까? 하지만 이것은 아무리 생각해도 콩 그림 나눠가며 분수를 익혔던 방식과는 차이가 있다. 그렇다면 우선 왜 음수 간의 곱이 양수가 되는지에 대한 명확한 답변은 무엇일까?
다행히 여러 콘텐츠가 범람하는 이 시대에 저 정도 질문에는 쉽게 답해주는 영상을 찾을 수 있었다. 필자도 아래 유튜브 링크를 통해 음수의 곱이 양수인 이유를 알게 되었으니 참고 바란다. 해당 내용을 바탕으로 결국 음수의 곱이 양수가 된 이유를 요약하자면 음수의 정의 이후 이 새로운 수를 기존의 수학 체계인 곱셈의 성질에 맞게 편입시키는 일반화의 과정에서 우리는 논리적인 방법을 통해 이 수학적 사실을 알게 되었다는 것이다.
https://www.youtube.com/watch?v=owo6hdlJBjk
결국 음수의 곱이 양수가 된다라는 수학적 사실은 오롯이 수학을 통해 알게 된 결과물이라는 건데... 이것은 암담하게도 우리에게 수학이 어려운 이유를 또 한 가지 추가해 준다. 그것은 수학은 결국 직관적으로 이해하는 데에 한계가 있고, 수학은 수학으로써 그 체계와 논리 전개를 쫓아가는 데에 익숙해져야 그 의미를 정확히 파악할 수 있다는 것이다. 결국 우리는 중학교 시절부터 이런 와닿지 않는 수학을 시작하며 이걸 배워서 어디에 쓴다고 라는 말을 입에 달기 시작하며 수학과 조금씩 멀어졌는지도 모른다.
하지만 이런 논리와 체계가 수학을 가장 수학답고 누군가를 그 매력에 빠지게 만드는 부분이 아닐까 싶다. 오롯이 인간의 사고 속에서 펼쳐낸 수학이라는 이야기에는 우리가 필요에 따라 적절히 약속한 정의와 그것을 가지고 엄격한 논리에 따라 밝혀낸 사실만이 존재한다. 그렇기에 수학적 명제는 절대로 틀리지 않기에 그 명쾌함에 빠져드는 이들도 무수히 많다. 그러니 당신도 수학을 조금 복잡해 보인다고 너무 쓸모없는 취급 하며 미워하는 마음을 버려보길 바란다. 그렇다면 그전에는 느끼지 못했던 수학의 매력을 새삼 느낄 수 있을지 모른다.
