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Nov 20. 2019
논리적 동치
명제 논리 #9
문장 φ와 문장 ψ가 동치equivalence라는 건 곧 φ와 ψ가 모든 해석 아래에서 같은 진리값을 갖는다는 걸 의미합니다. 어떻게 해석하든 두 문장이 같은 의미를 갖는다는 거죠.
그렇다면 φ와 ψ는 서로의 귀결일 거예요. 서로가 서로를 함축하는 관계죠. 어느 한쪽이 참일 땐 다른 한쪽도 반드시 참일
또 두 문장을 쌍조건문 연결사로 이어 만든 문장은 항상 참이 될 겁니다.
논리적 동치 관계를 기호로 나타낼 땐 φ≡ψ라고 씁니다.
(어떤 논리학자들은 논리적 동치 기호 ≡를 쌍조건문 연결사로 사용하기도 해요.)
"자유가 아니면 죽음을 달라"는 연설로 유명한 패트릭 헨리패트릭 헨리의 연설 중 등장하는 "자유 아니면 죽음을 달라Give Me Liberty, Or Give Me Death"는 말은 그 번역이 인상적입니다. 직역하자면 "자유 혹은 죽음을 달라" 정도가 될 이 문장은 한국어로 옮기면서 "자유가 아니면 죽음을 달라"가 되었죠.
"자유를 준다"는 문장과 "죽음을 준다"는 문장을 각각 p와 q로 기호화해놓고 생각해봅시다. "자유 혹은 죽음을 준다"에 해당하는 선언문 p∨q와 "자유를 주지 않으면 죽음을 준다"에 해당하는 조건문 ~p→q는 어떻게 해석되더라도 같은 진리값을 같습니다.
p∨q≡~p→q조건문과 그 대우 문장도 항상 같은 진리값을 갖죠. 그래서 논리적으로 동치입니다. p→q≡~q→~p가 성립한다는 말이죠.
타짜라면 손이 눈보다 빠르다≡손이 눈보다 빠르지 않다면 타짜가 아니다드 모르간 법칙De Morgan's Law 역시 이렇게 확인할 수 있어요.
~(p&q)≡~p∨~q
~(p∨q)≡~p&~q
두 사람의 말이 모두 진실일리는 없다≡둘 중 하나는 거짓말을 하고 있을 것이다
저건 뽀로로나 펭수가 아니다≡저건 뽀로로도 아니고 펭수도 아니다