6. 원과 조각케익

드디어 도형의 마지막, 원을 배워 볼 차례가 되었다. 원은 다른 다각형의 도형과는 달리 각을 가지고 있지 않다. 심지어 선분도 없고, 꼭짓점도 없다. 그래도 삼각형, 사각형과 마찬가지로 중요한 도형 중에 하나가 바로 원이다. (기본 도형이라 아이들도 동그라미, 세모, 네모라고 이야기를 하는 것 같다. ) 원은 앞서 설명한 대로 꼭짓점과 선분이 없는 도형이다. 그래서 원을 정의하는 내용도 삼각형, 사각형과는 전혀 다른 내용이다. 

원은 고정된 한 점으로부터 일정한 거리에 있는 점들의 모임이라고 설명한다. 즉 원의 중심에서 같은 거리 (반지름)에 위치한 점들을 이어서 만들어진 도형을 말한다. 

아이들의 원은 동그라미다. 그저 한 손으로 펜을 잡고 아래에서 위로 혹은 위에서 아래로 한 붓 그리기를 하듯 둥글게 그림을 그려낸다. 그만큼 원은 어려운 도형이 아니다. 우리 일상에서도 많이 보이는 도형의 모양을 가지고 있다. 하지만 어른이 된 후에 원을 보면 원이 조금 까다롭다는 것을 느낀다. 아마도 이는 원이 컴퍼스를 이용해서 그려야 반듯한 원이라고 배웠기 때문에 그런 것일지도 모른다. 

하지만 원은 그다지 어렵지 않다. 다만 원을 배우게 되면 나중엔 다른 도형과 마찬가지로 원의 둘레와 넓이를 배우게 되는데, 그때 나오는 원주율이 조금 어렵다. 원주율은 무한한 소수의 형태로 나오기 때문에 외우는 것도 쉽게 할 수 없다는 것이 더욱 흥미를 낮추는 원인이 된다. 

원이라는 도형에서 아이들은 무엇을 배우고 알아야 할까? 

도입에서 설명을 했지만 한 번 더 설명을 하자면 원은 그 고정된 한 점, 즉 원의 중심이라는 점이 있다. 또한 같은 거리에 떨어진 점들, 그 점들과 원의 중심에서 같은 거리를 (반지름) 가진다. 역시나 반지름의 두 배가 되는 지름도 필요한 요소 중에 하나다. 

각 요소를 배웠다면 다른 도형들처럼 둘레와 넓이는 어떻게 구하게 된다.

도형은 모두 둘레와 넓이를 구하는 계산이 있다. 이는 아무래도 도형이 건축이나 공간에 대한 값과 연관이 커서 그렇다. 모양의 크기를 구하는 값이라던지 면적을 재는 방법이라던지, 아파트의 평수를 구하는 방법까지 도형이다. 이렇듯 도형은 일상에서 어떤 수학이론만큼이나 많이 적용되어 사용하고 있다. 

원의 둘레를 구하는 방법은 (지름) X(원주율)이다. 

원의 둘레는 위의 식에 필요한 값을 대입해서 구하면 된다. 그런데 우리가 그냥 외우며 살았던, 결국 쓸 일이 없어서 잊어버렸던 지름 x원주율은 왜 원의 둘레를 구하는 식이 되었을까?

그 해답은 원주율을 나 다태는 3.14... 에서부터 시작한다. 원은 그 크기에 상관없이 모두 원의 둘레와 지름의 비율이 일정하다. 슈퍼에서 산 작은 약과의 둘레와 지름의 비율이나, 빵집에서 산 4호 케이크의 둘레와 지름의 비율은 같다는 이야기다. 그러니까 (원의 둘레÷지름)을 계산하면 어떤 원이든 3.14.... 의 값을 가진다. 거기서부터 원의 둘레는 시작한다. 지름에 원주율을 곱하면 원의 둘레를 구하는 식이 완성된다.

그렇다면 원의 넓이는 어떻게 구하는 것일까?

원의 넓이를 구하는 방법은 (반지를) X(반지름) X(원주율)이다.

원의 넓이를 구하는 수많은 방법 중에 초등학생이 공부하는 방법으로 그 넓이를 구해보자.

수학은 방법은 여러 가지로 두고 있다. 수학은 정답을 찾는 학문으로 알고 있지만 사실 그것도 맞는 이야기이다. 다만 정답을 찾으러 가는 길은 너무나 다양하고 가짓수가 많으니 어떤 것이 정답이라고 할 수는 없다. 위의 그림에서 설명하는 방법도 원의 넓이를 구하는 여러 가지 방법 중에 하나이다. 

원은 사각형처럼 단순히 가로와 세로를 곱하는 것을 구할 수 없다. 원의 특성 때문에 그런 것인데. 그래서 원의 넓이를 구하는 방법은 대부분 잘게 잘라서 구하는 방법을 사용하거나 끈을 이용해서 넓이를 구한다. 우리는 이 중에서 잘라서 넓이를 구하는 방법으로 공부해 보고자 한다. 

그림에서 처럼 웜을 자른다. 자른 조각은 위, 아래 번갈아가면서 배열하면 다음에 그려진 모양이 된다. 그럼 원을 반으로 잘랐을 때, 반은 윗부분, 나머지 반은 아랫부분을 채운다. 그러면 두 번째 그림에서 가로의 부분은 원둘레의 절반, 세로는 반지름의 길이를 가지고 있다. 같은 원을 조금 더 잘게 잘라서 붙인다면 조금 더 직사각형의 모양에 가까운 도형이 만들어지는데, 우리가 상상하기 어렵게 많이 자르면 직사각형의 모양이 된다. 그러면 직사각형의 넓이를 구하듯 가로와 세로의 곱으로 그 넓이를 구 할 수 있다. 

가로는 원의 둘레에 반의 길이를 가진다. 원의 둘레는 (지름 × 원주율)인데 이 길이를 반으로 나누어 주면 (1/2 ×지름 ×원주율)이 된다. 지름의 반은 반지름과 같으니 (반지름 ×원주율)이 된다. 이 식에 세로의 길이인 반지름을 곱하면 넓이를 구 할 수 있게 된다. 

도형은 삼각형, 사각형, 원처럼 기본도형 이외에서 다각형, 직선, 타원 등 많은 모양의 도형이 있지만 초등학교 수업에서 주로 사용되는 도형은 기본 도형 정도라고 할 수 있다. 이제 원을 배우면서 기본 도형의 특성과 특징을 설명했다. 그리고 아이와 함께 공부를 하는 부모님이 어떻게 하면 아이에게 수학을 더 원리에 가깝게 설명하고, 단순한 공식이 아니라 이해를 통한 공식 유도를 이끌어 낼 수 있는지를 고민했다. 

어른들이 이미 배운 내용을 다시 한번 상기하고 아이 들고 재미있는 방법으로 공부를 하게 된다면 조금 더 수학을 좋아하지 않을까?