3. 에듀테크-3

수학과외선생님 feat. DeepSeek

최근 chatGPT와 더불어 DeepSeek의 인지도가 급상승하고 있어, 이전에 영어과외선생님 시리즈와 더불어 수학과외선생님도 가능할지 테스트해보았습니다. 영어보다 수학은 좀 더 이미지, 기호, 도형 등 비텍스트 자료를 바탕으로 수학적 논리를 전개해야 한다는 점에서 난이도가 더 높을 것이라는 생각이 들었습니다. 다음은 고려대 2024년 자연계 대학별고사 문제 사례입니다.

ChatGPT에게 풀이를 요청하여 다음과 같은 결과를 얻었습니다.

문제 1-1 풀이

주어진 함수들:   

g(x)=−σ(−x+b)+1g(x) = -\sigma(-x+b) + 1

h(x)=−σ(−x−c)+2h(x) = -\sigma(-x-c) + 2

f(x)=g(x)+h(x)f(x) = g(x) + h(x)

1단계: 각 함수의 정의 분석

주어진 단위 구간 함수 σ(x)\sigma(x)의 정의를 다시 살펴보면:σ(x)={x,x≥00,x<0\sigma(x) =  \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}

이므로, σ(−x+b)\sigma(-x+b)와 σ(−x−c)\sigma(-x-c)의 형태를 조사해 보겠습니다.

(1) g(x)=−σ(−x+b)+1g(x) = -\sigma(-x+b) + 1   −x+b≥0-x + b \geq 0

 이면, σ(−x+b)=−x+b\sigma(-x+b) = -x + b

 → 즉, x≤bx \leq b

 → 따라서, g(x)=−(−x+b)+1=x−b+1g(x) = -(-x+b) + 1 = x - b + 1

−x+b<0-x + b < 0

 이면, σ(−x+b)=0\sigma(-x+b) = 0

 → 즉, x>bx > b

 → 따라서, g(x)=−0+1=1g(x) = -0 + 1 = 1

 g(x)={x−b+1,x≤b1,x>bg(x) = \begin{cases} x - b + 1, & x \leq b \\ 1, & x > b \end{cases}

(2) h(x)=−σ(−x−c)+2h(x) = -\sigma(-x-c) + 2   −x+c≥0-x + c \geq 0

 이면, σ(−x+c)=−x+c\sigma(-x+c) = -x + c

 → 즉, x≤cx \leq c

 → 따라서, h(x)=−(−x+c)+2=x−c+2h(x) = -(-x+c) + 2 = x - c + 2

−x+c<0-x + c < 0

 이면, σ(−x+c)=0\sigma(-x+c) = 0

 → 즉, x>cx > c

 → 따라서, h(x)=−0+2=2h(x) = -0 + 2 = 2

 h(x)={x−c+2,x≤c2,x>ch(x) = \begin{cases} x - c + 2, & x \leq c \\ 2, & x > c \end{cases}

2단계: f(x)=g(x)+h(x)f(x) = g(x) + h(x) 구하기f(x)=g(x)+h(x)f(x) = g(x) + h(x)   

x≤bx \leq b f(x)=(x−b+1)+(x−c+2)=2x−(b+c)+3f(x) = (x - b + 1) + (x - c + 2) = 2x - (b+c) + 3

b

x>cx > c f(x)=1+2=3f(x) = 1 + 2 = 3

 f(x)={2x−(b+c)+3,x≤bx−c+3,b<x≤c3,x>cf(x) = \begin{cases} 2x - (b+c) + 3, & x \leq b \\ x - c + 3, & b < x \leq c \\ 3, & x > c \end{cases}

3단계: 미분 가능성이 없는 지점 찾기

미분이 불가능한 점은 구간이 변하는 경계점 x=bx = b 및 x=cx = c 에서 발생할 가능성이 있습니다.
 각 지점에서 좌우 미분계수를 비교해 보겠습니다.   

     x=bx = b에서 미분 가능성 검사            좌미분계수: f′(x)=2f'(x) = 2 (왼쪽 구간)       우미분계수: f′(x)=1f'(x) = 1 (오른쪽 구간)       2≠12 \neq 1 → 미분 불가능!  

     x=cx = c에서 미분 가능성 검사            좌미분계수: f′(x)=1f'(x) = 1 (왼쪽 구간)       우미분계수: f′(x)=0f'(x) = 0 (오른쪽 구간)       1≠01 \neq 0 → 미분 불가능!  

4단계: f(x)f(x)가 세 점에서만 미분 불가능하도록 하는 조건

현재까지 x=bx = b와 x=cx = c에서 미분 불가능함을 확인했습니다.
 추가로 한 점에서만 미분 불가능하도록 하려면, xx의 또 다른 변곡점이 필요합니다.

하지만 함수의 형태를 분석해 보면, 새로운 불연속점을 추가하려면 b=cb = c인 경우를 고려해야 합니다.

따라서 f(x)f(x)가 세 점에서만 미분 불가능하려면, b=cb = c인 경우를 포함해야 합니다.

최종 답안   

f(x)f(x)가 세 점에서만 미분 불가능하도록 하는 조건: b=cb = c

이유:

 x=bx = b

와 x=cx = c

에서 미분 불가능함을 확인했으며, b=cb = c

인 경우 추가적인 점에서 불연속성이 생겨 총 3개의 미분 불가능한 점이 존재하게 된다.

문제 1-2 풀이

1단계: 주어진 함수 g(x)g(x) 분석

문제에서 주어진 g(x)g(x)는 다음과 같습니다.g(x)=−σ(−x+1)+1g(x) = -\sigma(-x+1) + 1

(1) σ(−x+1)\sigma(-x+1) 분석σ(−x+1)={−x+1,x≤10,x>1\sigma(-x+1) = \begin{cases} - x + 1, & x \leq 1 \\ 0, & x > 1 \end{cases}

(2) g(x)=−σ(−x+1)+1g(x) = -\sigma(-x+1) + 1 계산   

x≤1x \leq 1일 때: g(x)=−(−x+1)+1=xg(x) = -(-x+1) + 1 = x

x>1x > 1일 때: g(x)=−0+1=1g(x) = -0 + 1 = 1

따라서,g(x)={x,x≤11,x>1g(x) = \begin{cases} x, & x \leq 1 \\ 1, & x > 1 \end{cases}

2단계: f(x)f(x) 분석

문제에서 주어진 f(x)f(x)는:f(x)=(x−a)(x−b)[σ(g(x))+(σ(−g(x))−1)]f(x) = (x - a)(x - b) [\sigma(g(x)) + (\sigma(-g(x)) -1)]

(1) σ(g(x))\sigma(g(x)) 및 σ(−g(x))\sigma(-g(x)) 분석   

     σ(g(x))\sigma(g(x)) σ(g(x))={g(x)=x,x≥00,x<0\sigma(g(x)) = \begin{cases} g(x) = x, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}

     σ(−g(x))\sigma(-g(x)) σ(−g(x))={−g(x)=−x,x≥10,x<1\sigma(-g(x)) = \begin{cases} -g(x) = -x, & x \geq 1 \\ 0, & x < 1 \end{cases}

(2) [σ(g(x))+(σ(−g(x))−1)][\sigma(g(x)) + (\sigma(-g(x)) -1)] 정리   

     x≤1x \leq 1일 때: g(x)=x⇒σ(g(x))=x,σ(−g(x))=0g(x) = x \Rightarrow \sigma(g(x)) = x, \quad \sigma(-g(x)) = 0 ⇒σ(g(x))+(σ(−g(x))−1)=x+(−1)=x−1\Rightarrow \sigma(g(x)) + (\sigma(-g(x)) -1) = x + (-1) = x - 1

     x>1x > 1일 때: g(x)=1⇒σ(g(x))=1,σ(−g(x))=−1g(x) = 1 \Rightarrow \sigma(g(x)) = 1, \quad \sigma(-g(x)) = -1 ⇒σ(g(x))+(σ(−g(x))−1)=1+(−1−1)=−1\Rightarrow \sigma(g(x)) + (\sigma(-g(x)) -1) = 1 + (-1-1) = -1

3단계: 미분 불가능한 점 찾기

함수 f(x)f(x)가 두 점에서만 미분 불가능하려면, 구간이 변화하는 두 지점을 찾아야 합니다.   

g(x)g(x)의 불연속점: x=1x = 1
 → g(x)g(x)가 구간을 변경하는 점으로, f(x)f(x)가 미분 불가능할 가능성이 있음.

다항식 (x−a)(x−b)(x-a)(x-b)가 추가적인 불연속점 제공 가능
 → x=a,x=bx = a, x = b가 함수의 다른 특이점이 될 가능성이 있음.

미분 가능성을 검사하면, x=1x = 1과 또 다른 한 점 x=ax = a 또는 x=bx = b에서 미분이 불가능
 → 따라서, x=1x = 1을 포함하는 특정한 a,ba, b 값을 선택해야 함.

4단계: f(x)>0f(x) > 0인 구간 찾기   

f(x)f(x)의 부호는 주어진 다항식 부분 (x−a)(x−b)(x-a)(x-b)의 부호에 의존합니다.

xx가 a,ba, b보다 큰지, 작은지에 따라 부호가 달라지므로, (a,b)(a, b)의 값에 따라 변화하는 경계점을 찾으면 됩니다.

최종 답안   

     f(x)f(x)가 두 점에서만 미분 불가능한 이유:            x=1x = 1에서 g(x)g(x)가 불연속적이므로, f(x)f(x)가 미분 불가능.       x=ax = a 또는 x=bx = b에서 추가적인 불연속성이 발생하여 두 개의 미분 불가능한 점이 형성됨.  

     f(x)>0f(x) > 0인 구간 (a,b)(a, b) 찾기:            f(x)f(x)의 부호는 다항식 (x−a)(x−b)(x-a)(x-b)에 의해 결정되므로, 적절한 a,ba, b를 선택하면 특정 구간에서 f(x)>0f(x) > 0을 만족.  

문제 1-3 풀이

1단계: 주어진 함수 g(x)g(x) 분석

문제에서 주어진 g(x)g(x)는:g(x)=−σ(−x+1)+1g(x) = -\sigma(-x+1) + 1

이 함수는 문제 1-2에서 이미 분석한 함수이므로, 정리된 결과를 그대로 사용하겠습니다.g(x)={x,x≤11,x>1g(x) = \begin{cases} x, & x \leq 1 \\ 1, & x > 1 \end{cases}

2단계: 주어진 함수 f(x)f(x) 분석

문제에서 주어진 f(x)f(x)는:f(x)=σ(g(x))+g(−x)−1f(x) = \sigma(g(x)) + g(-x) - 1

(1) σ(g(x))\sigma(g(x)) 분석σ(g(x))={x,x≥00,x<0\sigma(g(x)) = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}

(2) g(−x)g(-x) 분석

g(−x)g(-x)를 구하기 위해 g(x)g(x)의 정의를 이용합니다.   g(x)=xg(x) = x

 for x≤1x \leq 1

,

 → g(−x)=−xg(-x) = -x

 for −x≤1-x \leq 1

 즉, x≥−1x \geq -1

.

g(x)=1g(x) = 1

 for x>1x > 1

,

 → g(−x)=1g(-x) = 1

 for x<−1x < -1

.

따라서,g(−x)={1,x<−1−x,x≥−1g(-x) = \begin{cases} 1, & x < -1 \\ - x, & x \geq -1 \end{cases}

(3) f(x)=σ(g(x))+g(−x)−1f(x) = \sigma(g(x)) + g(-x) - 1 계산

이제 f(x)f(x)를 구해봅시다.   

     x<−1x < -1 f(x)=σ(g(x))+g(−x)−1=σ(g(x))+1−1=σ(g(x))f(x) = \sigma(g(x)) + g(-x) - 1 = \sigma(g(x)) + 1 - 1 = \sigma(g(x))            만약 g(x)≥0g(x) \geq 0이면 σ(g(x))=g(x)\sigma(g(x)) = g(x),       만약 g(x)<0g(x) < 0이면 σ(g(x))=0\sigma(g(x)) = 0.  

     −1≤x<0-1 \leq x < 0 f(x)=σ(g(x))+(−x)−1f(x) = \sigma(g(x)) + (-x) - 1            g(x)g(x)가 0 이상이면 σ(g(x))=g(x)\sigma(g(x)) = g(x),       g(x)g(x)가 0 미만이면 σ(g(x))=0\sigma(g(x)) = 0.  

     0≤x≤10 \leq x \leq 1 f(x)=x+(−x)−1=−1f(x) = x + (-x) - 1 = -1

     x>1x > 1 f(x)=1+g(−x)−1f(x) = 1 + g(-x) - 1            g(−x)=1g(-x) = 1 for x<−1x < -1, so f(x)=1+1−1=1f(x) = 1 + 1 - 1 = 1.  

3단계: 직선 y=ax+by = ax + b와 세 점에서 만나는 조건 분석

함수 f(x)f(x)의 그래프가 직선 y=ax+by = ax + b와 세 점에서 만나도록 하는 (a, b)의 조건을 찾아야 합니다.   

f(x)f(x)의 변곡점이나 미분 불가능한 점이 세 개 이상 존재해야 합니다.

특정한 a,ba, b 값에 대해 f(x)=ax+bf(x) = ax + b가 세 개의 실근을 가져야 합니다.

f(x)f(x)의 주요 불연속점은 **x=−1,x=0,x=1x = -1, x = 0, x = 1**이므로,
 y=ax+by = ax + b가 이 세 점에서 f(x)f(x)와 교차하는 경우를 찾아야 합니다.

4단계: 면적 구하기

함수 f(x)f(x)와 직선 y=ax+by = ax + b가 세 점에서 만나는 경우,
 이들이 차지하는 영역의 면적은 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 면적이 됩니다.

삼각형의 면적은:면적=12×기본 길이×높이\text{면적} = \frac{1}{2} \times \text{기본 길이} \times \text{높이}

여기서, 삼각형의 좌표를 적절히 설정하면 면적을 계산할 수 있습니다.

최종 답안   

직선 y=ax+by = ax + b가 f(x)f(x)와 세 점에서 만나려면:            x=−1,x=0,x=1x = -1, x = 0, x = 1에서 f(x)=ax+bf(x) = ax + b를 만족하는 적절한 a,ba, b가 필요.  

면적 계산:            세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 면적은 12×기본 길이×높이\frac{1}{2} \times \text{기본 길이} \times \text{높이}로 계산 가능.  

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DeepSeek의 결과는 다음과 같습니다.

### 문제 1-1 풀이

**풀이 단계:**

1. **함수 g(x)와 h(x) 분석:**

   - \( g(x) = -\sigma(-x + b) + 1 \)

     - \( \sigma(-x + b) \)는 \( x \leq b \)일 때 \( -x + b \), \( x > b \)일 때 0.

     - 따라서, \( g(x) = \begin{cases} x - b + 1 & (x \leq b) \\ 1 & (x > b) \end{cases} \)

   - \( h(x) = -\sigma(x - c) + 2 \)

     - \( \sigma(x - c) \)는 \( x \geq c \)일 때 \( x - c \), \( x < c \)일 때 0.

     - 따라서, \( h(x) = \begin{cases} 2 & (x < c) \\ -x + c + 2 & (x \geq c) \end{cases} \)

2. **σ(g(x))와 σ(h(x)) 분석:**

   - \( \sigma(g(x)) \)는 \( x \geq b-1 \)에서 \( x - b + 1 \), \( x < b-1 \)에서 0, \( x > b \)에서 1.

   - \( \sigma(h(x)) \)는 \( x < c \)에서 2, \( c \leq x \leq c+2 \)에서 \( -x + c + 2 \), \( x > c+2 \)에서 0.

3. **f(x)의 미분불가능한 점:**

   - f(x)는 \( \sigma(g(x)) \)와 \( \sigma(h(x)) \)의 꺾이는 점에서 미분불가능.

   - 꺾이는 점: \( x = b-1, \, b \) (g(x)), \( x = c, \, c+2 \) (h(x)).

   - 총 4개 점이지만, **b = c**일 때 \( x = b-1, \, b, \, b+2 \)로 3개 점만 남음.

**결론:**  

\( b = c \)일 때, f(x)는 세 점 \( x = b-1, \, b, \, b+2 \)에서 미분불가능하다.  

**답:** \( b = c \)

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### 문제 1-2 풀이

**풀이 단계:**

1. **σ(g(x)) + σ(g(-x)) - 1 분석:**

   - \( \sigma(g(x)) + σ(g(-x)) - 1 = \begin{cases} 0 & (x < -2) \\ x+2 & (-2 \leq x < -1) \\ 1 & (-1 \leq x < 1) \\ -x+2 & (1 \leq x \leq 2) \\ -1 & (x > 2) \end{cases} \)

2. **f(x) = (x-a)(x-b)[σ(g(x)) + σ(g(-x)) - 1]:**

   - f(x)가 미분불가능한 점은 원래 \( x = -2, -1, 1, 2 \).

   - (x-a)(x-b)가 0이 되는 점 \( x = a, b \)에서 미분불가능성이 사라짐.

   - **두 점에서만 미분불가능**하려면, \( a, b \)가 \( -2, -1, 1, 2 \) 중 두 값이어야 함.

3. **f(0) > 0 조건:**

   - \( f(0) = (-a)(-b) \cdot 1 = ab > 0 \).

   - \( a, b \)는 **같은 부호**여야 함.

**결론:**  

가능한 순서쌍: \( (a, b) = (-2, -1), (-1, -2), (1, 2), (2, 1) \).  

**답:** \( (-2, -1), (-1, -2), (1, 2), (2, 1) \)

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### 문제 1-3 풀이

**풀이 단계:**

1. **f(x)의 그래프:**  

   \( f(x) = \begin{cases} 0 & (x < -2) \\ x+2 & (-2 \leq x < -1) \\ 1 & (-1 \leq x < 1) \\ -x+2 & (1 \leq x \leq 2) \\ -1 & (x > 2) \end{cases} \)

2. **직선 y = ax + b와의 교점 조건:**

   - **세 점에서 만나려면** 직선이 \( y=1 \), \( y=x+2 \), \( y=-x+2 \) 구간과 각각 교차해야 함.

   - 기울기 \( a \)는 \( -1 < a < 1 \) (직선이 세 구간을 모두 지나기 위해).

3. **영역 계산:**

   - \( y = ax + b \)가 \( y=1 \), \( y=x+2 \), \( y=-x+2 \)와 교차하는 \( a, b \)의 범위를 찾음.

   - 조건을 만족하는 영역은 **평행사변형**이며, 면적은 \( 4 \).

**결론:**  

**답:** 면적 = \( 4 \)

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정리

1. 위에서는 기호들이 다소 깨져 보기 불편하지만, 실제 출력은 chatGPT, DeepSeek 둘다 깔끔합니다.

2. ChatGPT는 1-2번을 끝까지 풀지 못해 1-3번 답도 완전히 제시하지 못하지만 DeepSeek는 모두 제대로 된 답을 제시했습니다. chatGPT, DeepSeek 둘 다 무료버전이지만, chatGPT유료버전은 좀 더 나을 수 있다는 조건에서 100% DeepSeek이 낫다고 말할 수 있을지는 모르겠습니다. (향후 DeepSeek도 유료화될 것 같은 느낌에...)

3. 제가 가장 큰 차이를 느낀 부분은 DeepSeek은 답을 내기 전 추론과정을 다음과 같이 상세히 공개한다는 점이었습니다. 이 부분은 향후 답의 중간과정을 점검할때 큰 단서를 줄 것 같다는 느낌입니다.

 * * * 

좋아, 이 문제들을 풀어야 하는데 차근차근 생각해봐야겠다. 먼저 1-1번 문제부터 시작하자. 문제를 읽어보니 함수 σ(x)는 x가 0 이상일 때 x이고, 0 미만일 때 0인 함수야. 이건 ReLU 함수 같은 거네.

1-1) b ≤ c인 두 상수 b, c에 대해 g(x) = -σ(-x + b) + 1, h(x) = -σ(x - c) + 2라고 했고, f(x) = σ(g(x)) + σ(h(x))라 할 때, f(x)가 세 점에서만 미분불가능하게 되는 b와 c의 관계를 찾아야 해. 이유도 설명해야 하고.

먼저 g(x)와 h(x)를 분석해야 할 것 같다. σ 함수의 정의에 따라 g(x)와 h(x)의 형태를 그려보자.

g(x) = -σ(-x + b) + 1. σ의 입력이 -x + b이니까, -x + b ≥ 0일 때 σ(-x + b) = -x + b이고, 그렇지 않으면 0이야. 따라서, σ(-x + b)는 x ≤ b일 때 -x + b, x > b일 때 0. 따라서 g(x)는 x ≤ b일 때 -(-x + b) + 1 = x - b + 1, x > b일 때 -0 + 1 = 1. 즉, g(x)는 x ≤ b일 때 x - b + 1, x > b일 때 1.

h(x) = -σ(x - c) + 2. 마찬가지로 x - c ≥ 0, 즉 x ≥ c일 때 σ(x - c) = x - c. 따라서 h(x)는 x ≥ c일 때 -(x - c) + 2 = -x + c + 2, x < c일 때 -0 + 2 = 2. 따라서 h(x)는 x < c일 때 2, x ≥ c일 때 -x + c + 2.

이제 f(x) = σ(g(x)) + σ(h(x)). σ(g(x))는 g(x)가 0 이상이면 g(x), 아니면 0. h(x)에 대해서도 마찬가지.

g(x)의 경우, x ≤ b일 때 g(x) = x - b + 1. 이 값이 0 이상이 되려면 x - b + 1 ≥ 0 → x ≥ b -1. 따라서 σ(g(x))는 x ≥ b -1이면 x - b + 1, x < b -1이면 0. 하지만 g(x)의 정의역이 x ≤ b일 때만 x - b +1이므로, σ(g(x))는 x ≥ b -1이고 x ≤ b일 때 x - b +1, x < b -1일 때 0, x > b일 때 g(x)=1이므로 σ(g(x))=1. 따라서 σ(g(x))의 그래프는 x < b -1: 0, b -1 ≤ x ≤ b: x - b +1, x > b: 1.

h(x)의 경우, h(x)는 x < c일 때 2, x ≥ c일 때 -x + c +2. σ(h(x))는 h(x) ≥0이면 h(x), 아니면 0. h(x)는 x < c일 때 2이므로 σ(h(x))=2. x ≥ c일 때 -x + c +2 ≥0이려면 x ≤ c +2. 따라서 x ≥ c이면서 x ≤ c +2일 때 σ(h(x)) = -x + c +2, x > c +2일 때 σ(h(x))=0.

따라서 σ(h(x))의 그래프는 x < c: 2, c ≤ x ≤ c +2: -x + c +2, x > c +2: 0.

이제 f(x) = σ(g(x)) + σ(h(x)). f(x)의 모양을 생각해보면, 각 구간에서의 합이 될 거야. 중요한 점은 f(x)가 미분불가능한 점은 σ(g(x))나 σ(h(x))의 꺾이는 점들일 거야. 즉, σ(g(x))의 꺾이는 점은 x = b -1, x = b이고, σ(h(x))의 꺾이는 점은 x = c, x = c +2. 따라서 f(x)는 이 네 점에서 꺾이게 되고, 따라서 미분불가능한 점은 x = b -1, b, c, c +2 중에서 겹치는 부분을 제외하고 총 네 점이 나올 수 있어. 그런데 문제에서는 f(x)가 세 점에서만 미분불가능하다고 했으므로, 이 중 두 점이 겹쳐야 해. 즉, 네 점 중 두 개가 같은 위치에 있어야 해.

b ≤ c라는 조건이 있으므로, 가능한 경우를 생각해봐야겠다. 예를 들어, b = c +2라면 x = c +2와 x = b가 같은 점이 될 수 있나? b ≤ c인데 b = c +2라면 c +2 ≤ c → 2 ≤0, 모순이므로 불가능. 다른 경우를 생각해보자.

아마도 두 개의 꺾이는 점이 서로 겹치는 경우를 찾아야 할 것 같다. 예를 들어, σ(g(x))의 x = b와 σ(h(x))의 x = c가 같은 경우. 즉, b = c. 그런데 b ≤ c이므로 b = c인 경우. 그러면 꺾이는 점이 x = b-1, b, c(=b), c+2. 즉, x = b-1, b, b+2. 그러면 총 세 점에서 미분불가능해지네. 이 경우 세 점이 되므로 조건을 만족한다. 따라서 b = c일 때, 꺾이는 점이 세 개가 된다.

혹은 다른 경우가 있을까? 예를 들어, σ(g(x))의 x = b -1이 σ(h(x))의 x = c와 같을 경우. 즉, b -1 = c. 그럼 꺾이는 점은 x = c, c +2 (h(x)), x = c (g(x)의 x = b -1 = c → b = c +1), 그리고 x = b = c +1. 따라서 꺾이는 점은 x = c, x = c +1, x = c +2. 그리고 g(x)의 x = b = c +1에서의 점은 σ(g(x))의 x = b = c +1에서 꺾임. h(x)의 x = c에서 꺾임. 그리고 x = c +2. 이렇게 총 네 점? 아니면 c +1과 c가 다른 점이라면 네 점이 될 텐데, 문제에서는 세 점만 나와야 하므로 이 경우는 안 될 것 같다.

다시 생각해보면, σ(g(x))의 꺾이는 점은 x = b -1과 x = b. σ(h(x))의 꺾이는 점은 x = c와 x = c +2. 이 네 점이 서로 중복되지 않으면 총 네 점에서 미분불가능해지는데, 문제에서는 세 점만 있어야 하므로 두 점이 중복되어야 한다. 가능한 경우는:

1. b -1 = c → b = c +1

2. b = c +2 → 하지만 b ≤ c이면 c +2 ≤ c → 불가능

3. b = c → 이 경우 꺾이는 점은 x = b -1, b, c +2 → 총 세 점?

Wait, b = c라면 h(x)의 꺾이는 점은 x = b와 x = b +2. 그리고 g(x)의 꺾이는 점은 x = b -1과 x = b. 따라서 총 꺾이는 점은 x = b -1, b, b +2. 이렇게 세 점이 된다. 따라서 이 경우 세 점이 됨. 따라서 b = c일 때 조건을 만족한다.

또 다른 가능성은 σ(g(x))의 x = b가 σ(h(x))의 x = c +2와 같을 때. 즉, b = c +2. 그러나 b ≤ c이므로 c +2 ≤ c → 2 ≤0, 불가능.

또 σ(g(x))의 x = b -1이 σ(h(x))의 x = c +2와 같다면 b -1 = c +2 → b = c +3. 하지만 b ≤ c라면 c +3 ≤ c → 3 ≤0, 불가능.

따라서 가능한 경우는 b = c일 때만 세 점이 된다. 이 경우 꺾이는 점은 b -1, b, b +2. 따라서 b = c.

하지만 문제에서는 "세 점에서만 미분불가능"이라고 했으니, 이 경우 맞는 것 같다. 따라서 답은 b = c.

이유는 f(x)의 미분불가능한 점이 g(x)와 h(x)의 꺾이는 점들인데, b = c일 때 두 함수의 꺾이는 점 중 하나가 겹쳐서 총 세 점이 되기 때문이다.

1-2번 문제는 g(x) = -σ(-x -1) +1, f(x) = (x -a)(x -b)[σ(g(x)) + σ(g(-x)) -1]이고, f(x)가 두 점에서만 미분불가능하고 f(0) >0인 순서쌍 (a,b)를 모두 구해야 해.

먼저 g(x) = -σ(-x -1) +1. σ(-x -1)은 -x -1 ≥0 → x ≤ -1일 때 -x -1, 그 외에는 0. 따라서 g(x)는 x ≤ -1일 때 -(-x -1) +1 = x +1 +1 = x +2, x > -1일 때 -0 +1 =1. 따라서 g(x)는 x ≤ -1일 때 x +2, x > -1일 때 1.

σ(g(x))는 g(x) ≥0일 때 g(x), 아니면 0. g(x)는 x ≤ -1일 때 x +2. x +2 ≥0 → x ≥ -2. 따라서 x가 [-2, -1]일 때 σ(g(x))=x +2, x < -2일 때 0, x > -1일 때 g(x)=1이므로 σ(g(x))=1. 마찬가지로 σ(g(-x))는 g(-x)에 대해 같은 분석. g(-x) = -σ(x -1) +1? Wait, g(-x) = -σ(-(-x) -1) +1 = -σ(x -1) +1. σ(x -1)은 x ≥1일 때 x -1, x <1일 때 0. 따라서 g(-x)는 x ≥1일 때 -(x -1) +1 = -x +2, x <1일 때 -0 +1=1. 따라서 σ(g(-x))는 x ≥1일 때 -x +2 ≥0이려면 x ≤2. 따라서 x ≥1이고 x ≤2일 때 σ(g(-x)) = -x +2, x <1일 때 g(-x)=1 → σ(g(-x))=1, x >2일 때 0.

따라서 σ(g(x)) + σ(g(-x)) -1의 값은:

x < -2: 0 + 1 -1 =0

-2 ≤x < -1: (x +2) +1 -1 = x +2

-1 ≤x <1:1 +1 -1=1

1 ≤x ≤2:1 + (-x +2) -1= (1) + (-x +2) -1= -x +2

x >2:0 +0 -1= -1

따라서 σ(g(x)) + σ(g(-x)) -1는:

x < -2: 0

-2 ≤x < -1: x +2

-1 ≤x <1:1

1 ≤x ≤2: -x +2

x >2: -1

이제 f(x) = (x -a)(x -b) * [위의 값]. f(x)는 다항식 (x -a)(x -b)에 구간별로 다른 값을 곱한 형태.

f(x)가 두 점에서만 미분불가능하려면, 원래 σ(g(x)) + σ(g(-x)) -1 함수가 미분불가능한 점은 x=-2, -1,1,2에서 발생한다. 따라서 f(x)는 이 네 점에서 미분불가능할 수 있지만, (x -a)(x -b)가 0이 되는 점에서는 연속성이 깨지지 않을 수 있지만, 미분가능성에 영향을 줄 수 있다. 문제에서는 f(x)가 두 점에서만 미분불가능해야 하므로, 네 점 중 두 점에서만 미분불가능하고 나머지 두 점에서는 (x -a)(x -b)가 0이 되어서 그 점에서의 미분불가능성이 사라져야 한다.

즉, a나 b가 -2, -1,1,2 중 두 개와 같아야 한다. 예를 들어, a=-2, b=-1이라면 (x +2)(x +1)이 되어서 x=-2와 x=-1에서 0이 되므로, f(x)는 그 점에서 0이 되어서 원래의 미분불가능한 점이 사라질 수 있다. 따라서 f(x)의 미분불가능한 점은 x=1,2만 남을 수 있다. 하지만 이 경우 f(0) = (0 -a)(0 -b)[...]. σ(g(0)) + σ(g(-0)) -1 = σ(g(0)) + σ(g(0)) -1. g(0)=1이므로 σ(1)=1. 따라서 [...] 부분은 1 +1 -1=1. 따라서 f(0) = (-a)(-b)*1 = ab. f(0) >0이므로 ab >0. 따라서 a와 b가 같은 부호여야 한다.

그러나 a와 b가 -2, -1이라면 ab= (-2)(-1)=2>0이므로 조건 만족. 이 경우 f(x)는 x=-2와 x=-1에서 (x -a)(x -b)가 0이 되어, 원래 미분불가능한 점인 x=-2, -1에서 f(x)가 0이 되어서 그 점에서 미분가능해질 수 있다. 따라서 남는 미분불가능한 점은 x=1,2. 총 두 점. 따라서 (a,b)=(-2,-1), (-1,-2) 등.

하지만 a와 b의 순서쌍을 모두 찾아야 해. 가능한 경우는 a와 b가 -2, -1,1,2 중 두 개를 선택하되, ab >0이고, (x -a)(x -b)가 x=-2, -1,1,2 중 두 점에서 0이 되도록 해야 한다.

또 다른 경우는 a=1, b=2. 이 경우 (x -1)(x -2)이므로 x=1,2에서 0. 따라서 원래 미분불가능한 점 x=1,2에서 f(x)=0이 되어 그 점에서 미분가능해질 수 있고, 남은 미분불가능한 점은 x=-2, -1. 따라서 이 경우 미분불가능한 점이 두 개가 된다. 그리고 f(0)=(0 -1)(0 -2)*[...] = ( -1)(-2)*1=2>0. 따라서 (a,b)=(1,2)도 가능.

또 a= -2,1 같은 경우는 ab=(-2)(1)=-2 <0이라 f(0)=ab <0이므로 조건 불만족.

따라서 가능한 순서쌍은 (a,b)가 (-2,-1), (-1,-2), (1,2), (2,1). 단, a와 b의 순서는 중요하지 않을 수도 있지만 문제에서는 순서쌍으로 구해야 하므로 모두 포함. 그리고 이들의 ab >0인 경우.

따라서 답은 (a,b)=(-2,-1), (-1,-2), (1,2), (2,1).

1-3번 문제는 g(x)는 동일하고 f(x)=σ(g(x)) + σ(g(-x)) -1. 이 f(x)의 그래프와 y=ax +b가 세 점에서 만나도록 하는 (a,b)의 영역의 면적을 구해야 함.

먼저 f(x)의 그래프를 정확히 그려야 해. 앞서 1-2에서 분석했듯이 f(x)는:

x < -2: 0

-2 ≤x < -1: x +2

-1 ≤x <1:1

1 ≤x ≤2: -x +2

x >2: -1

즉, 계단형 그래프. 이제 y=ax +b가 이 그래프와 세 점에서 만나려면, 직선이 f(x)의 각 구간과 교차하는 점이 세 군데 있어야 한다.

각 구간별로 직선과의 교점을 분석:

1. x < -2: y=0과 y=ax +b의 교점은 ax +b =0 → x = -b/a. 단, x < -2이려면 -b/a < -2 → a ≠0, 부호에 따라 조건이 달라짐.

2. -2 ≤x < -1: y=x +2와 y=ax +b의 교점은 x +2 = ax +b → x(1 -a) = b -2 → x=(b -2)/(1 -a). 이 x가 [-2, -1)에 있어야 함.

3. -1 ≤x <1: y=1과 y=ax +b의 교점은 ax +b=1 → x=(1 -b)/a. 이 x가 [-1,1)에 있어야.

4. 1 ≤x ≤2: y=-x +2와 y=ax +b의 교점은 -x +2=ax +b → x(a +1) =2 -b → x=(2 -b)/(a +1). 이 x가 [1,2]에 있어야.

5. x >2: y=-1과 y=ax +b의 교점은 ax +b =-1 → x=(-1 -b)/a. x >2이려면 조건 필요.

직선이 세 점에서 만나려면, 위의 다섯 구간 중 세 구간에서 교점이 있어야 하고, 각 교점이 해당 구간 내에 있어야 한다. 가능한 조합을 찾아야 함.

예를 들어, 직선이 x < -2, -2 ≤x < -1, -1 ≤x <1 구간에서 각각 한 점씩 만날 수 있다. 아니면 다른 조합도 가능.

하지만 일반적으로 직선이 계단형 함수와 세 점에서 만나려면 직선이 중간의 평탄한 부분(여기서는 y=1)을 지나면서 다른 구간들과 교차해야 한다. 예를 들어, y=1 구간에서 교점이 있고, 양쪽의 기울어진 부분과의 교점이 두 개 더 있는 경우. 또는 아래쪽의 y=-1 구간과 교차하면서 다른 두 구간과 교차하는 경우.

구체적으로, 가능한 경우를 생각해보자.

1. y=ax +b가 y=1 구간(-1 ≤x <1)에서 교점을 갖고, y=x +2 구간(-2 ≤x < -1)과 y=-x +2 구간(1 ≤x ≤2)에서 각각 교점을 갖는 경우. 이 경우 총 세 교점.

2. y=ax +b가 y=1 구간, y=x +2 구간, 그리고 x >2의 y=-1 구간에서 교점을 갖는 경우. 이 경우 세 교점.

3. y=ax +b가 y=1 구간, y=-x +2 구간, 그리고 x < -2의 y=0 구간에서 교점을 갖는 경우.

각 경우에 대해 조건을 분석해야 한다.

예를 들어 첫 번째 경우:

- y=1 구간에서 x=(1 -b)/a가 [-1,1)에 있음.

- y=x +2 구간에서 x=(b -2)/(1 -a)가 [-2, -1)에 있음.

- y=-x +2 구간에서 x=(2 -b)/(a +1)이 [1,2]에 있음.

이 세 조건을 모두 만족하는 a와 b의 영역을 찾아야 한다.

또한, 직선이 이 세 구간에서만 교차하고 다른 구간에서는 교차하지 않아야 한다. 예를 들어, x < -2에서는 교차하지 않아야 한다면, ax +b =0의 해 x=-b/a가 -2보다 작지 않도록 해야 한다. 혹은 다른 조건.

이런 복잡한 조건들을 모두 고려해야 하므로, 영역을 찾기 위해 각 교점의 조건을 수학적으로 표현하고, 해당 조건들이 동시에 만족되는 영역을 찾아야 한다.

이 문제는 그림을 그려서 푸는 것이 더 쉬울 것 같다. f(x)의 그래프를 그리고, 직선이 세 점에서 만나도록 하는 기울기 a와 절편 b의 관계를 찾아야 한다.

예를 들어, y=ax +b가 y=1 구간을 지나면서, y=x +2와 y=-x +2와 각각 한 점씩 교차하고, 다른 구간에서는 교차하지 않아야 한다. 이 경우 a의 기울기가 1보다 작고, -1보다 커야 할 수도 있다. 또는 다른 조건.

이 문제의 최종 답은 이러한 조건들을 만족하는 a와 b의 영역이 어떤 도형을 이루고, 그 면적을 계산하는 것이다. 예를 들어, 이 영역이 사다리꼴이나 삼각형 등일 수 있으며, 그 면적을 계산할 수 있다.

하지만 이 문제를 완전히 풀기 위해서는 상당히 긴 분석이 필요하고, 시간이 많이 소요될 것 같다. 일단 여기까지 생각을 정리하고, 구체적인 단계를 밟아보자.