i의 i 승은 도대체 어떤 수 일까?

실재하지 않은 것이 실현되는가?

2의 2승은 4이다. e의 3승은 약 7.3891 정도이다. 수학자들이 가장 사랑한다는 오일러 공식은 e의 i*pi는 -1이다. 허수 i는 어떨까? i의 2승은 -1이고, i의 3승은 -i이고, i의 4승은 1이다. 그런데 여기서 신기한 일이 벌어진다. i의 i승은 어떻게 될까? 과연 i의 i승이라는 의미는 무엇일까? 답을 말하자면, i의 i승은 0.207879....로 실수이다.

이는 오일러 공식으로부터 유도할 수 있다.

e ^ ix = cos x + i * sin x에서 x 대신에 pi/2를 대입하면

e ^ i (pi/2) = cos (pi/2) + i * sin (pi/2) 이므로 cos (pi/2) = 0, sin (pi/2) = 1 이므로 e ^ i (pi/2) = i로 유도된다.

i = e ^ i (pi/2) 이므로 여기에 i 승을 다시 해주면

i^i = e ^ i * i (pi/2)이며, i * i는 -1이므로 정리하면

i^i = e ^ (-pi/2)가 되어서 이를 엑셀이나 공학용 계산기로 계산하면 0.207879... 와 같은 실수의 형태로 나온다. 이걸 1777년에 오일러가 발견을 했다고 하니, 가히 수학의 신이라고 불릴만하다.

i라는 허수는 우리가 통상적으로 생각하는 실수와는 다른 범주에 있는 수이다. 하지만 i가 e를 만나면 삼각함수로 표현할 수 있는 놀라운 신세계가 열린다. 우리가 사용하고 있는 무선통신, 스마트폰, 전기차 모터 등 수많은 현상은 e와 i로 표현되고 이를 응용하여 발전하였다. i라는 허수는 실제적인 세상에서 우리가 만져볼 수 없는 숫자는 아니다. 하지만 i라는 허수의 i승은 우리가 실제로 만질 수 있고, 그 크기를 짐작할 수 있는 0.207879... 의 숫자인 셈이다.

허수의 허수 승은 실재하는 놀라운 일이 벌어진 것이다. 세상에도 이런 일들이 가끔씩 일어나기도 한다.

이는 놀라울 정도로 적은 확률로 벌어지는 현상과는 전혀 다른 상황이다. 예를 들어 주사위를 10번을 던져서 모두 1이 나오는 확률과는 전혀 다른 사건이다. 주사위를 10번 던져 모두 1이 나올 확률은 (1/6)^10 이니깐 약 0.0002%쯤 된다. 이는 아주 매우 드문 경우라고 할 수 있다.

하지만 i ^ i 승은 아주 드문 확률의 사건이 아니다. 예를 들어서, 천국이나 지옥은 아직까지 물리적으로 이 세상에 실존하지 않은 상상의 개념이다. 그런데, 천국이나 지옥이라는 상상의 개념에다 또 다른 상상의 개념을 연산(승수)을 하니, 지구상 어딘가에 실재하는 장소가 되어 버린 경우이다. 그러니깐 허황되고, 상상의 산물이 또 다른 상상을 만나서 실재하는 현실이 될 수도 있다는 것이다.

그래서 실재하지 않은 것이라고 여겼던 일들이 아주 드문 확률로 발생하는 게 아니라, 비현실적인 상상이

또 다른 비현실적인 상상과 승수 연산이 되었을 때 실현된다. 그래서 때로는 우리는 현실적으로 계산하고,

확률에 기대어 세상을 살아가기도 하지만, 상상에 상상을 더했을 때 신기방기하게도 상상의 상상이 실현되기도 한다.

그래서 우리는 발은 땅에 두고 살지만, 우주를 넘어선 그 끝없는 상상으로 세상을 살아가기도 한다. 오일러가 처음으로 발견한 i ^ i 승은 실재하지 않은 것이 실현된다는 의미심장한 메시지를 던진다. 그래서 나는 가끔 라면을 끓어 먹을 때에도 1 + i^i 만큼 먹기도 한다. 즉 라면 1개와 1/5 라면(0.20)보다 좀 더 큰 i^i (0.207879) 만큼 먹기도 한다.

난 오늘도 상상의 상상이 실재하고 실현되는 꿈을 꾼다. 그리고 내 인생을 pi/2에 이르도록 산다. 이는 cos에게는 0에서 시작하는 시작점이요. sin에게는 1이라는 꼭대기에서 떨어지는 시작점임을 기억한다. 그래서 난 두 발은 현실에 두고 있지만, 두 눈은 하늘 너머 상상을 염원하며 살아간다.