(제목 사진: David Santaolalla from León, spain • CC BY 2.0, wikipedia에서)
물리학을 정의하라고 하면, 과연 어디에서 어디까지를 이야기해야 할까? 사실 인간이 인지할 수 있는 자연현상의 대부분은 전자기와 양자 현상의 협업에 근거하는데, 방사능, 별, 중력 등 중요한 몇 가지 예외를 제외하고는 그러하다. 예를 들어 기다란 RNA가 만들었고, 그래서 역시 기다란 단백질 분자가 어떻게 돌돌 말아지고, 그리하여 엔자임으로서 생명현상에 관여하는지에 대한 것은 전자기력에 근거한 물리학적, 혹은 그 연장선상에 있는 화학적 명제 안에서 상당 부분 이해되고 있다.
그러나, 이런 기본적인 원리들을 알고 있다는 것과 생명현상과 같은 복잡한 자연현상을 효과적으로 이해한다는 것 사이에는 엄청난 간극이 있고, 그래서 화학, 생물, 지구과학과 같은 상대적으로 신생의 학문들이 19세기에 시작하여 20세기에는 독립적으로 번성하기에 이른 것이다. 물론, 물리학 원리의 응용에 방점이 찍혀있는, 기계, 혹은, 전기, 전자와 같은 다양한 공학분야가 출현하여 20세기 산업사회를 이끌기도 하였다.
그런데, 과연 물리학자들은, 이런 ”기본적인 원리” 들을 정말 제대로 알고 있는 것일까? 예를 들어 우리가 알고 있는 물질들의 질량이 어디에서 오는 것인가 하고 물으면 이에 대해서는 일부 답을 알고 있는데, 소위 "신의 입자"라는 말로 한동안 열심히 SNS과 언론에서 회자되던 힉스 입자의 발견이 중요한 이유가 여기에 있었다. 소립자 표준 모형 안에서 전자의 질량을 설명하는 방식을 옳다면 있어야 하는 필요조건이 힉스 입자였고, 그래서 그 실험적인 검증은 표준모형 자체의 검증에 가장 마지막에 필요했던 퍼즐 한 조각이었다.
그러나 이렇게 비교적 깔끔하게 이해되는 한 가지 질문마다 수백 개의 더 어려운 질문이 남아있는 게 과학이다. 사실 물질 질량의 대부분을 차지하는 양성자와 중성자의 질량만해도 아직 제대로 이해하는게 아니다. 그나마 무슨 문제를 풀면되는지 어느정도 알려진 이런 질문에 비해, 예를 들어 DNA라는스스로를 복제할 수 있는 분자는 어떻게 시작되었으며, 오늘 서울의 미세먼지는 왜 이렇게 나쁜지와 같은, 워낙 어려워서 그 자체의 학문이 필요했던 질문들도 있다.
그런데, 이런 궁금하고 어려운 이야기들 잠시 무시하고 훨씬 더 단순하게, "왜 물의 밀도는 유한하고 그 양에 따라 크게 다르지 않은가"라고 누가 물어보았다고 하자. “왜 철은 덩어리로 존재하며, 이 덩어리를 두 쪽으로 나누어도 그 더한 부피가 달라지지 않는가” 하는 일견 바보 같은 질문 말이다. "기본적인 원리"와 멀지 않은 질문인 듯한데, 물리학은 과연 이걸 제대로 이해하고 설명하고 있을까? 이 새로운 시리즈에서는 이 질문을 시작으로, 거시적인 세상에 대한 현대 물리학의 이야기를 해보려고 한다.
정말 잘 지었다고 한참을 혼자 흐뭇해하던 "온 세상이 떨고 있다"라는 이책의 제목은 원래양자 역학의 탄생에 대한 한참 이전 글의 제목이기도 하다. 20세기 초 양자 역학의 도래가 어떻게 안정적인 상태의 원자 모델을 구현했는지에 대한 이야기였는데, 핵이 있고, 그 주변을 전자가 양자 파동의 형태로 퍼져 있는, Bohr에서 시작되어 Schroedinger에서 완성된 양자 원자에 대한 이야기였다. 이 글의 주된 이야기는 원자 하나의 경우, 양의 입자와 음의 입자가 서로 당기는 힘 때문에 서로 합쳐져서 원자의 크기가 한 없이 작아질 수 있을 것 같은데, 이걸 양자 원리가 막아섬으로써 일정한 크기의 안정적인 원자가 만들어진다는 것이었음를 기억하자.
그런데, 여기에서 명확히 이야기하지 않은 것이 이 전자나 핵의 크기에 대한 것인데, 물론 파동에 무슨 크기가 있느냐고 말할 수도 있겠으나, 양자 입자에도 물리적으로 의미 있는 크기가 존재한다. 문제는 그 정의가 한 가지가 아니라는 것인데, 가장 단순한 것은 컴프튼 파장이라는 것이다. 대략 플랑크 상수를 질량과 광속으로 나누면 얻어지는 길이를 크기로 생각하자. 결론적으로 매우 작다. 얼마나 작냐 하면 흔히 작은 원자의 크기로 알려진 1앵스트롱, 즉 1미터를 10으로 10번이나 나눈 그 길이보다 훨씬 작다. 전자의 경우 최소한 백배 정도, 핵의 경우 십만배 정도 작다.
따라서, 이들 입자들이 양자 역학적인 파동 함수로 원자의 크기인 1 앵스트롱 길이 공간의 온갖 곳을 헤집고 다니기는 하지만, 원자 내 공간은 평균적으로 대부분 텅 빈 상태이라고 할 수 있다. 여기서 생긴 질문은, 이런 원자들을 엄청나게 많이 하나의 공간에 꾸겨 넣으려고 하면 무슨 일이 생길까? 철광석 같은 덩어리나 물과 같은 액체가 생기는 것을 설명할 수 있을까? 어떻게 거시적이고 안정적인 물체가 만들어지는지에 대한 이런 근본적인 질문에는 적절히 쉬운 답이 필요하다.
보통의 물질을 구성하는 원자들은 같은 수의 음과 양의 전하가 섞여 있는데, 즉 핵에는 양의 전하가 있고 전자들의 음의 전하가 있어 원자 하나하나는 전하의 양의 0이다. 보통 우리가 보는 물체들은 이런 원자들이 엄청나게 많이 모여 만들어지는 것이니 그 안에는 많은 양의 전하를 가진 입자와 많은 음의 전하를 가진 입자가 섞여 있다. 이와 같은 상황에서 철광석이라거나 액체 형태의 물이 어떻게 만들어지는가 하는 것이 위 질문이었다.
인류가 경험해온 이런 상식적인 물체들이 거의 예외 없이 보여주는 성질은 이들을 둘로 나누면 절반의 부피를 차지하는 덩어리 두 개로 나뉜다는 것이다. 즉 평균적으로 원자 하나가 차지하고 있는 부피는 일정하다는 말이다. 너무 당연해 보이는 이 말을 과학적으로 이해해 보자는 게 이 글의 목적이다. 과연 그렇게 당연한 말일까?
보통 물질은 원자들의 합이니, 일단 원자를 설명하고 나면, 물질을 이해했다고 생각하기 쉬운데, 이는 그렇지 않다. 예를 들어 우리가 금속이라고 부르는 물질의 경우 상당수의 전자들이 개개의 원자에게서 해방되어 물질 전체를 헤집고 다니는 것이 이미 잘 알려져 있는데, 이는 즉 원자들의 모임이, 밀도가 충분히 높으면 핵자와 전자들의 모임으로 이해해야 함을 의미한다. 특히 Philip Anderson이 한 유명한 말 "More is different"처럼, 작은 수의 입자에서 보이는 행동으로부터 많은 수의 입자가 있는 상황을 유추하려고 하는 것은 학문적으로 매우 위험한 발상이다.
비슷한 이야기를 다른 방식으로 해보자. 책상 위에 얹힌 내 손은 책상을 뚫고 지나가는 이상한 짓을 하지 않는데, 즉 책상의 표면과 내 손이 서로를 지나갈 수 없게 되어 있는데, 역시 당연할까? 이 질문과 위 질문의 유사점은 두쪽으로 나눈 철광석 덩어리를 다시 붙이려고 하면 알 수 있는데, 철 원자 하나가 차지하는 공간이 줄어들지 않는다면 철광석 덩어리 하나가 다른 덩어리를 유령처럼 지나가지 않는 것과 마찬가지 원리일 것이다. 손과 책상 모두 대부분 수소, 산소, 그리고 탄소로 만들어진 덩어리임을 상기하면 손과 책상이, 우리가 보기에 다른 종류의 물체라는 것이 이 질문에서는 그다지 중요하지 않음을 간파할 수 있을 것이다.
그런데, 위에 이야기한, 원자 내의 공간이 대부분 평균적으로 비어있다는 이야기를 곱씹어 보면 이 두 번째 의문이 그다지 바보같이 보이지 않을지도 모른다. 대부분 비어 있는 원자 내 공간을 핵과 전자들이 뚫고 지나갈 수 없을 이유가 보이지 않는다면 말이다.
방금 한 질문에, 즉 물체와 물체가 서로 지나가는 것을 허락하지 않는 현상에 대하여 일부 교과서 등에서 전자기력 때문이라고 서술하고 있고, 일반 강연하러 다니는 학자들 역시 주로 그렇게 이야기한다. 원자의 외곽에는 전자가 주로 자리하고 있으니, 그런 원자와 원자가 만나면 전자 간의 척력이 먼저 중요해지므로 이 척력 때문에 그렇다는 말이다. 그런데 과연 이게 제대로 된 설명일까? 모든 원자는 전하가 상쇄되어 있다는 위의 언급을 기억하면 조금 조심스러워야 할 것이다.
좋은 과학자는, 주어진 질문에서 가장 중요한 부분을 뽑아내어 정제하는 능력이 있어야 한다. 위의 철광석이니, 혹은 손과 책상이니 하는 예시들이 가진 공통 분모를 뽑아내어 정량적인 물리문제로 바꾸어 보자. 모든 물체는 원자로 만들어져 있으므로 무슨 물체를 생각하여도, 그 안에는 매우 많은 음의 전하를 가지는 전자가 있다. 그 숫자를 N이라고 하자. 그리고 N 보다는 조금 작은 수의, 양의 전하를 가지는 원자핵들도 있어 이 원자핵들의 전하들을 다 합하면 N이 되어 전자의 전하를 정확히 상쇄할 것이다.
이 상황에서 과연 이 입자들의 집합은 철광석, 손, 책상과 같은 “덩어리”의 형태를 가진 물체를 만들 수 있을까? 여기서 “덩어리”의 가장 중요한 성질은 그 부피가 N에 비례한다는 것인데, 이는 가장 가까이 있는 입자들 사이의 평균 거리가, N과 큰 상관없이 일정하다는 것이다. 그리고 입자들이 전하를 가지고 있다는 말은, 이런 덩어리가 가능하려면 전자 하나가 느끼는 위치에너지가 역시 N과 상관없이 일정하다는 말이기도 하다.
만일 이 입자들이 고적적인 입자였다면 어떻게 될까? 이건 뭐 물어볼 것도 없다. 전자 하나와 양성자 하나 주어도 원자도 만들지 못하는 것이 고전 역학인데, 이 이유는 물론 전자가 양성자에 끌려들어 가는 쿨롱 인력 때문이다. 전자와 양성자 혹은 핵의 개수가 늘어났다고 갑자기 덩어리가 만들어질 가능성은 없다.
이를 정량화하는 한 가지 방법은 이 입자들의 모임에서 입자들의 에너지가 최소화 되는 상태가 있느냐, 그리고 있다면 그 최소 에너지가 N이 커지거나 작아질 때 어떻게 변하느냐 인데, 이 경우 전자들이 핵에 가까이 가면 갈수록 낮은 에너지 상태가 되므로, "최소의 에너지 같은 것은 없다," 혹은 "최소의 에너지는 음의 무한대이다"가 정답이다. 전자는 모두 핵자에 빨려 들어가서 원자 사이에 아무런 힘이 작용하지 않으니, 원자들이 어느 한 장소로 모이는 것을 막을 수 없다. 고전적으로는 우리가 보는 물체들이 만들어지는 것은 처음부터 불가능하다.
(물리를 좀 배운 사람은, 여기에 딴지를 걸어도 되는데, 소위 entropic force라는 것이 있다. 많은 수의 입자가 관련되어 있을 때 에너지가 최소화되는 게 아니라 에너지에서 엔트로피 곱하기 온도가 빼진 free energy라는 것이 최소화되어야 한다는 말에서 나오는 개념이고, 이 때문에 입자들은 되도록 넓은 공간을 차지하려고 한다... 그러나, 양자 역학이 없는 엔트로피는 줄 끊긴 연과 같은 신세라는 것을 이야기할 필요가 있다. 더구나 위의 질문을 절대온도 0에서 하면 둘 사이의 차이도 없어지니 그렇게 생각해도 좋다.)
그러면 이제 조금 태세를 전환하여, 입자가 사실은 파동이라는 Schroedinger의 말을 기억하고 그의 방정식을 푸는 것으로 양자역학의 요소를 추가해보자. 수소 원자의 경우 전자가 파동 함수가 되면서 수소원자의 최소 에너지가 생기는데, 전자와 핵이 무한이 멀리 있는 상태에 비하여 상대적으로 -13.6eV만큼의 최소 에너지가 있고 그 이하로는 절대로 떨어질 수 없으며, 이 소위 기저 상태에서의 전자와 양성자의 평균거리가 약 1앵스트롱이고, 그래서 원자는 그 정도의 공간을 차지한다는 게 양자역학 배우면 알게 되는 이야기이다.
N개의 전자와, 비슷하게 많은 핵들이 뒤섞여 전체적으로 전하가 없는 이 상황의 Schroedinger 방정식을 풀어내어, 그 최소 에너지가 얼마인지 알아보면 위 질문의 대답에 한 걸음 다가갈 수 있다. 예를 들어 수소 N개가 있는 , 전자 N개와 양성자 N개가 공존하는 가장 단순한 상황에서 원하는 답은 무엇일까? 한 가지 기대해 볼 수 있는 것은 수소 원자 자체들이 각기의 모습을 잃지 않고 상대적으로 멀찍이 떨어져 있는 상태가 혹시 가장 에너지가 낮은 상태일까 생각해 볼 수 있는데, 만일 이게 사실이면 아마 전자 하나당 최소의 에너지는 -13.6 eV에서 크게 다르지 않을 것이다. 즉 하나의 수소 원자의 기저 상태의 에너지에 N이 곱해진 -13.6*N eV 정도일 것이다.
위에서 “덩어리”이야기를 하면서 언급했듯이, 이렇게 기저 상태의 에너지가 -N에 비례하는 상황이 사실은 우리가 알고 있는 물체들이 생기기 위한 필요조건인 것은 쉽게 볼 수 있다. 예를 들어 만일 기저 상태의 에너지가 N이 커질 때 -N^2처럼 커진다고 생각해 보자. 이는 전자 하나 당의 에너지가 -N에 비례한다는 이야기인데, 이렇다면 우리가 경험하고 있는 물체들은 불가능해진다. 전자 하나당 최소 에너지가 -N에 비례하게 되므로, 각기 N개의 전자를 가진 덩어리 두 개를 합쳐 놓으면 그 안에 있는 전자당 에너지가 음으로 두 배가 된다. 따라서 덩어리를 합치면 합칠수록 그 덩어리 안의 전자들은 점점 낮은 에너지의 기저 상태로 내려가게 되며 이는 사실 원자 자체의 크기가 줄어드는 것을 의미한다.
수소의 경우 이런 일이 생긴다면, 수소 원자 N개를 모아 놓으면, 전자 하나당 -13.6*N eV의 에너지까지 내릴 수 있다는 이야기인데, 이는 수소원자 하나당 핵과 전자의 평균 거리가 1/N만큼 줄어든다는 말이고, 따라서 수소 원자 하나가 차지하는 공간은 1/N^3처럼 줄어들며, 이는 곧 수소를 추가하면 할수록 N개의 수소원자들이 각기 차지하는 공간은 1/N^3처럼, 그 전체가 차지하는 공간은 N/N^3=1/N^2처럼 줄어든다는 말이다. 공기를 더 넣으면 풍선이 커지는 것과 완전히 반대의 현상이 일어날 것이다.
같은 이야기를 거꾸로도 할 수 있다. 말하자면, N=10^25개 정도의 전자를 포함하는 물 1리터를 0.5리터짜리그릇 둘에 나누어 담으려고 하면 N에 비례하는 어마어마한 에너지를 투입하지 않고는 불가능하다는 이야기이기도 하다. 만일 이렇다면 이 세상의 모든 물질은, 중력이 없더라도 서로 끌어당기려고 할 것이고 우주에는 무겁고, 매우 작은 부피를 차지하는 단 하나의 천체만 남았을 것이다. 즉 단 하나의 블랙홀 안에 모든 물질이 들어가 버렸을 게다
그런데, 이렇게 대략 N개의 전하 입자에 대해 그 기저 에너지 계산을 양자역학적으로 실제로 한 사람들이 있었다. 문제는 오랫동안 -N^2에 비례하는 결과 이상을 얻지 못하였다는 점인데, 약 50년 전에 여기에 종지부를 찍은 것이 Freeman Dyson이라는, 나이 30에 아인슈타인 생전의 프린스턴 고등연구소 교수가 되기도 한, 천재적인 물리학자들 사이에서도 천재중의 천재로 인정받던 인물이다.
그 이전 사람들이 계산한 결과가 기저 에너지가 -N^2에 비례한다는 것은, 물론 위에 이야기했듯이 매우 심각한 문제이다. 동일한 질문을 다시 한 Dyson은 기저 에너지가 -N^(5/3) 정도라는 결론에 다다르게 되었는데, -N^2보다는 조금 좋은 결과이나, 이 역시 실제 세상을 설명할 수는 없는 결론이다. 물체가 커지면 커질수록 전자 하나의 기저 상태는 N^(2/3)에 비례하여 점점 낮아지므로 물 한 컵을 두 군데로 나누는 것은 이 경우에도 역시 불가능해진다. 거꾸로 모든 거시적인 덩어리는 즉 N이 매우 큰 덩어리는, 중력과 아무 상관 없이 무조건 서로를 끌어당기게 된다.
특히 이런 결과들은 전하를 가진 입자들 사이의 양자역학적인 전자기력에 의한 상호 작용이 제대로 사용된 계산이다. 따라서, 전자들 사이의 척력 때문에 덩어리 1이 덩어리 2안으로 합쳐지지 않는다는 이야기는 전혀 근거가 없는 말이 된다. 그렇다면 양자 역학을 사용해도 인류가 경험하는 형태의 거시적인 물체가 만들어질 수 없다는 이야기 일까?
물론, 아마 그랬다면 지금 우리는 양자 역학을 오래전에 폐기했을 것이다. Dyson은 위의 계산을 할 때 입자들의 종류에 대하여 전혀 어떤 가정도 하지 않고 단지, 개개의 입자들이 양 혹은 음의 전하를 자기고 있다는 가정을 사용했을 뿐인데, 물론 이는 그다음 계산의 준비 운동에 불과했다. 이 이야기를 하자면, 양자 역학의 중요한 숨은 이야기를 하나 꺼내야 하니 이는 다음 글로 넘기기로 하자.
이 글과 다음 글은 최근 카오스 재단에서의 초청 강연으로 재구성되었으며, 강연 동영상은 여기에서 볼 수 있습니다: https://m.youtube.com/watch?v=FxkItBFv8HE
