높은 수익을 위한 투자금배분 법칙.

엄청 길지만, 관심이 있으면 재밌는 투자 계산법입니다.

아주 간단한 사다리타기 도박을 해 보겠습니다.

확률은 5:5, 홀과 짝 중 어느 쪽으로 갈지 맞추는 이 도박은

맞추면 거신 돈의 2배를 받고, 틀리면 거신 돈을 잃는 게임입니다.

지난 결과는

짝이 연속 3번 나오고, 홀이 한번 나온 후 다시 짝이 연속 20번이 나왔습니다.

이번에는 짝과 홀 중 무엇이 나올까요?

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1. 착시 :

결과적으로 희귀한 사건이지만,

홀짝의 확률이 바뀌는 것은 아니다.

짝이 연속으로 20번이 나왔어도 다음에 짝이 나올 확률은 변함없이 50%입니다.

지난 사건들이 결과인 앞면만 20번이 나올 확률은 사건적으로는 1/1,048,576, 정규분포에서 3/100,000의 사건이지만, 지금 사다리에서 짝과 홀이 결정될 확률은 여전히 50%입니다.

희귀한 일이 벌어지지 않을 것이라는 추측과 직관은 우리의 착시입니다.

5:5 게임을 20번을 반복했을 때,
표준분포에 따르면 게임의 95%는 짝이 6번~14번 정도 나옵니다.
(정규분포 1.92σ, 20번의 1/2 게임의 σ = √5)

즉, 운이 좋으면 14번까지 나올 수도 있고
운이 나빠도 6번 정도는 짝이 나온다는 이야기입니다.

그런데 연속해서 20번이 짝이 나왔다는 것은 평균 10번에서 10번이 더 멀어진 일이고,
이것은 표준편차 √5의 4~5배 정도 벗어난 일입니다.
정규분포표를 찾아보면 그 확률이 대략 0.00003입니다.

로또 1등 확률이 0.00000001,
로또 2등 확률이 0.00000007 이니까
짝이 연속 20번이 나오는 일은
매주 수십 명의 당첨자가 나오는 로또 2등 보다도 그리 희귀한 일도 아닙니다.

하지만, 직접 그 사건에 있다면 우리는 연속적인 희귀한 사건이 일어나기 어렵다는 직관이 판단의 근거가 되어서 도박에 참여하게 될지도 모릅니다.

짝이 연속으로 20번이나 나왔는데,
다음에 어떻게 짝이 또 나와?

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2. 집착 : 마틴게일

홀이 나올 때까지 베팅금액을 두 배씩 늘리면,

지가 결국 홀이 나오지 않을까?

아무리 확신이 들어도 50% 확률 게임 한 판에 전재산을 올인하는 사람은 없을 겁니다.

처음에 배팅하는 금액은 복권 한 장 정도의 금액이 일반적일 것 같아요.

그래서, 1만원을 홀에 베팅해 보겠습니다.

그런데, 짝이 나와서 1 만원을 잃었다면 다음 판에 또 만원을 배팅해서는 이겨봐야 원금만 찾는 것이라서 아쉽습니다. 그래서, 우리는 잃은 만원도 복구하고 추가로 만원을 따기 위해서 배팅을 2만원으로 올려볼 수도 있습니다.  

하지만 운이 나빠서 또 잃게 된다면, 다음 기회에 또 원금과 첫판의 이익까지 고려하여 배팅금액을 4만원을 올릴 수 있습니다. 이런 식으로 이길 때까지 베팅금액을 2배씩 올리다 보면 결국 한 번은 맞추면서 원금도 회수하고 수익도 날 수 있을 것 같습니다.

 

이렇게 각 회차마다 처음 돈의 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 512, 1024 배로 이길 때까지 베팅 금액을 늘리다 보면 결국 이겼을 때 손해를 모두 회수하고 첫 번째의 베팅한 금액만큼을 얻는 전략을 마틴게일식 베팅방법이라고 합니다.

그런데, 단순히 계산을 해도 9번 안에 만원을 벌기 위해서 1789만원이 필요합니다.

그리고, 홀의 집착이 연속 9번을 넘어가면 1789만원을 손해를 보게 됩니다.

10번의 시도까지 생각한다면, 만원을 벌기 위해서 총 3837만원을 준비해야 합니다.

하지만.. 10번째 시도도 실패한다면... 만원을 되돌리기 위해서 너무 많은 금액의 손해를 감수해야 합니다.

심지어.. 20번의 연속 실패도 그리 드문 일이 아닙니다.

1918년 몬테카를로의 카지노에서 유래한 '몬테카를로의 오류'가 있습니다.
딜러가 굴린 구슬이 빨강과 검정 중 어느 색에 멈출지를 맞추면 되는 룰렛게임에서 20번의 붉은색이 연속해서 나왔습니다. 이 것을 보고 수많은 도박사들이 몰려와서 검은색에 베팅을 했는데 그 이후로 6번이나 더 붉은색이 나오면서 도박사들이 큰 손실을 봤다는 이야기에서 유래한 표현입니다.

일어난 사건이 희귀하지만, 다음에 굴린 구슬은 지난 사건과 무관하게 50%의 확률로 굴러갑니다. 하지만 사람들은 굴러가는 구슬이 지난 결과를 기억하기라도 하는 듯이 빨강의 확률을 낮다고 착각을 합니다.
잘못된 직관이 만들어내는 '도박사의 오류'입니다.

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3. 착각 : 켈리의 법칙

나의 투자 승률이 다음에도 적용될 것이라는 오만.

주식에 100만원을 투자하면서,

100% 수익과 60% 손해 중 어느 쪽이 먼저 오는지를 기다리는 전략을 선택했다면,

맞추면 200만원에 틀리면 40만원을 돌려받는 게임으로 설정이 된 셈입니다.

100만원으로 주식을 살 때 아무거나 고르는 것이 아니고,

다양한 정보와 경험에 의해서 선택을 했기 때문에

보수적으로 생각해도 승패가 50:50 정도는 기대할 수 있는 게임이라고 생각할 수 있습니다.

즉, 이 경우 100만원의 투자는 기댓값이 20만원인 게임입니다.

50%의 확률로 100% 수익을 얻고, 50%의 확률로 -60%인 게임의 기댓값은 20%입니다.

자 이제 이 게임을 100번 정도 실행한다면,

100만원이 50번, -60만원이 50번으로 수익은 2,000만원을 기대할 수 있습니다.

물론, 100번 중에 100만원이 30번, -60만원이 70번이 나와서 -1,200만원이 될 수도 있습니다.

하지만 50:50 게임에서 한쪽이 30번 이하로 나올 확률은 6*10^-37입니다.

0.00000000000000000000000000000000000006 입니다.

우주 나이가 대략 4,348,608,000,000,000초라고 보면

우주가 만들어지면서 매초 거래를 해도 100 중에 70번이 틀리는 일은 거의 일어나지 않는 것이죠.

그래서, 100번 중에 70번이 틀리면 그 선택은 50:50의 확률이 아니란 의미이기도 합니다.

복잡한 계산을 좀 더 해보면,

50:50 게임을 100번을 할 경우

정규분포에 의하면 운이 나쁘면 45번 정도 맞추고, 운이 좋으면 55번 정도 맞출 수 있습니다.

즉, 운이 나빠도 45번의 100만원, 55번의 -60 으로 1,200만원을 벌고

운이 좋으면 55번의 100만원의, 45번의 -60 으로 2,800만원을 버는 게임이 됩니다.

100만원씩 100번을 시도하면 최소 돈을 12배를 버는 게임이라면,

매 판을 100만원이 아니라, 200, 300으로 올리면 더 많은 돈을 벌 수 있을 것 같습니다.

그래서, 야수의 심장을 가진 투자자는 전재산은 물론이고 대출까지 끌어와서 매판마다 ALL-IN을 하는 투자할 지도 모릅니다.

하지만, 매 판 All-in을 하면 망하는 것이 확정적이입니다.

기댓값은 플러스라도, 몰빵을 하면 손해

매번 올인을 하면 운이 좋았던 55번의 승리경우라도

100번을 하면 내 돈은 95% 손실이 납니다.

2의 55승 * 0.4의 45승 = 0.044601

매번 전액을 베팅하는 것은
각 사건 한 번씩 발생해도 2*0.4로 20%씩 손해를 보는 게임이 되기 때문에,
정규분포적으로 발생한다면 최빈값과 중간값이 지수적으로 하락하면 손실이 됩니다.

즉, 매번 전액을 베팅을 하는 것은 좋은 전략이 아닙니다.

그렇다고 매번 전액이 아니라 따든 잃든 100만원을 베팅하면 100번의 게임으로 1,200~2,800만원의 수익을 얻을 수 있는데, 이 방법도 효율적인 수익이 아닙니다.

이것을 고민하던 켈리라는 수학자는

매번 정해진 돈을 배팅하는 것보다

매번 정해진 비율의 금액을 배팅하는 것이 더 수익이 높다는 것을 발견합니다.

정액보다 효율적인 정률 베팅

(0과 1 사이 값의 극대값을 구하는 2차 방정식)

우리가 정한 것은 100%의 수익 혹은 60%의 손실입니다.

그리고, 이 게임의 나의 예측 승률이 50:50입니다.

자 이제, 내가 가진 돈의 X 배만큼 배팅을 하면,

게임이 끝나고 나의 투자금은 맞출 때 (1+X)배 틀리면 (1-0.6X)배가 됩니다.

내가 가진 1에서 X만큼을 투자했을 때 이겨서 2X를 받으면,
1-X 에서 2X를 받아서 1+X
내가 가진 1에서 X만큼을 투자했을 때 져서 0.4X를 받으면,
1-X에서 0.4X를 돌려받아서 1-0.6X

그럼 우리가 기대할 수 있는 수익은 (1+X)(1-0.6X)=0 의 극대값을 만드는 X를 찾는 것입니다.

2차 방정식의 최댓값을 구하면 됩니다. 여기서 X는 1/3 입니다.

그러면, 이기면 내 자산은 4/3가 되고, 지면 4/5가 됩니다.

그래서 한번 이 기고 한 번 져도 내 자산은 1.067배 증가합니다. 즉 6.7% 씩 수익이 나는 것입니다.

아까 풀배팅에서 한번 이기고, 한 번졌을 때 내 자산이 20%씩 손실이 나는 것과 비교하면 이기고, 지는 사건이 번갈아가며 발생해도 6.7%의 수익이 나는 것입니다.

이런 정률배팅을 승률 50% 게임에 대입을 해보면
가장 운이 나쁜 45번 승리에도 내 자산은 2배가 늘어나고,
가장 운이 좋았던 55번 승리라면 내 자산은 324배가 된다.

하지만 켈리 공식을 나의 투자에 적용하면 안 된다.

켈리공식의 가장 중요한 것은 승률의 확정입니다.

동전 던지기처럼 여러 번 반복해서 특정 확률로 수렴하는

대수의 법칙이 가능한 게임에서 자산대비 배팅금액을 구하는 공식입니다.

그런데, 우리의 투자 예측은 여러 번 반복했을 때 특정확률에 수렴을 하지 않습니다.

일시적으로 비슷하게 될 수는 있지만, 여러 번 반복하면서 의미 있는 확률에 수렴하지는 않습니다.

심지어 자식의 승률을 자만한다가 연속적인 빨간 공에 무너질 수도 있습니다.

따라서, 실전에서 자신의 오류를 무시하고 켈리공식의 배분으로 수익을 맹신할 수는 없습니다.

그럼에도 반복적인 투자에 대해서 투자금의 배분을 계획하기에는 기준점으로 켈리공식을 사용하곤 합니다.

켈리공식

X = 배팅의 정류

1) 승리 시 자산 변화 : ((1-X)+수익률X)
2) 패배 시 자산 변화 : ((1-X)+잔금률X)

(승리 시 자산변화)^(승률*100) * (패배 시 자산변화)^(패배율*100)

위 식을 만족하는 0 <X <1 사이의 값 중 Y의 극대값(중앙값)을 만드는 X

계산의 원리를 이해했다면, 계산은 직접 하지 말고 컴퓨터에 맡깁니다.

켈리 공식 계산기 - Fical.net

켈리공식은 투자금 분배를 위한 기준을 찾는 공식입니다.

켈리공식은 명확한 승률을 필요로 합니다.
그러나 우리의 투자 승률은 전혀 명확하지 않아요.
잘 못 된 적용으로 켈리공식을 맹신하면 위험합니다.