6. 그래서 계산 연습대신 뭘 하라고?
까짓 거 때려 맞추면 된다(?)
* 이 글의 내용에 약간의 수정사항이 있습니다. 예시로 든 문제를 변경하였습니다. 보다 나은 설명을 위한 조치이니, 이미 읽으신 분들이라도 한 번 더 읽어보시기를 권합니다. 항상 제 글을 믿고 읽어주시고 디테일한 내용까지 피드백해주시는 모든 수험생 여러분께 감사드리며, 저 또한 독자 여러분이 계셔서 큰 책임감을 느낍니다. 감사합니다. (21년 12월 10일 23시경 수정)
원래는 이 내용을 나중에 쓰려고 했다. 기존 원고의 목차 상으로는 문제가 되는 공부법들을 열거한 뒤, 나중에 해결책을 하나하나 언급할 계획이었다. 그런데 요 며칠 수험생분들의 질문을 받아보니 문제점만 줄줄 나열하고 대책은 제시하지 않는 답답한 글로 읽히는 것 같았다. 그래서 언급한 문제점에 대해 바로 해결책을 제시하기로 했다. 이번에 할 이야기는 앞서 신랄하게 비판했던 '계산 연습'을 대체할 수 있는 훈련법이다.
우리가 그렇게 계산 연습에 매진했던 이유는 무엇이었을까? 1. 실수를 줄이고자, 2. 빨리 풀고 싶어서, 아마 이 정도 이유였을 것이다. 불안감을 줄인다든가 하는 목적은 부수적인 것이니 제외하자.
그런데 정말 손으로 계산 연습을 수백 수천번 하다 보면 두 가지 목적이 달성될까? (그랬다면 자료해석 강사분들은 이미 다 은퇴했겠지) 혹시 계산 연습을 통해서도 점수를 올리지 못한 게 수험생 본인의 탓은 아닐까? 아마 다들 그렇게 생각했을 거다. 난 왜 남들보다 멍청하지, 왜 손이 느리지, 왜 계산 실수를 많이 하지.. 그런 자책은 이제 내려놓자. 우린 잘못한 적도 멍청했던 적도 없다. 그저 방법이 잘못되었을 뿐이다. (비유하자면, 축구를 잘하기 위해 1년 365일 하체 운동만 했는데, 막상 운동장에 나가보니 공을 맞추지도 못하고 헛발질하고 있는 것과 같다. 그건 내 잘못은 아니다. 하체운동만 하면 된다고 말한 사람 잘못이지)
PSAT 자료해석과 상황판단의 점수를 높이기 위해서는 정확하고 빠른 계산이 필요하다. 정확도와 속도, 두 마리 토끼를 잡기 위해 제시하는 올바른 훈련법은 아래의 두 가지다.
1. 어림산 훈련
2. 암산 훈련
고개를 갸우뚱할 수도 있다. "아니 어림산이 새삼 훈련이 필요한 건가? 그리고 암산이 가능했으면 내가 손으로 계산 연습을 했겠니? 암산이 안되니까 계산 연습했던 거지"라고 말할 수도 있다. 하지만 아니다. 어림산도 훈련하면 능숙해지고, 암산이야말로 훈련을 통해 비약적으로 속도를 높일 수 있다. (손은 빨라지는 데 한계가 있어도 머리는 빨라지는 데 한계가 없다) 오랫동안 들어온 학원 강의의 관성으로 인해 반감이 드는 심경은 이해하지만, 속는 셈 치고 한번 읽어보자.
우리는 친구와의 약속 장소에 몇 시쯤 도착할지 예상해볼 때, 월 초에 이번 달 지출할 식비 규모를 예상해볼 때, 여행 가기 전 대략적인 지출 규모를 짐작할 때 등등 어림산을 일상적으로 사용하고 있다. 그러나 시험장에선 도통 활용하지 못한다. 왜냐, 불안감 때문이다. 어림산으로 하면 틀릴까 봐. 그 공포심을 심어준 장본인이 바로 '학원 모의고사'다. 학원 모의고사들은 어림산이 아니라, 구체적인 계산을 요구한다. 십의 자리, 일의 자리까지 정확하게 구해야 판단할 수 있는 (엉망진창의) 문제를 내놓고, 학생들에게 틀렸다면 계산 연습을 해야 한다고 겁을 준다. 그리고 두꺼운 계산 연습 책을 내밀며 열심히 풀면 나아진다고 말한다.
내가 학원 모의고사를 푸는 게 득 보다 독이 된다고 말하는 이유가 바로 여기에 있다. 학원 모의고사는 기출문제를 충분히 풀어 좋은 문제와 좋지 않은 문제를 가를 수 있는 판단력이 생겼을 때 풀어도 늦지 않다. 문제를 접했을 때 "이건 실제 시험장에선 안 나올 문제야"라고 판단하고 넘길 수 있다면 그땐 모의고사를 몇 문제쯤 풀어봐도 좋다.
다시 한번 강조하자면 우리가 계산의 강박에 사로잡힌 이유는 학원 모의고사들이 잔인한 계산을 재차 요구한 나머지, 실제 시험도 그렇다는 착각에 빠져있기 때문이다. 기출문제는 잔인한 계산을 요구하기는커녕 실제 통계수치를 단순화하여 어림산으로 접근할 수 있도록 친절을 베풀기까지 한다. 동일한 통계자료를 바탕으로 출제한 두 문제를 비교해 보자. 좌측은 학원 모의고사와 출제경향이 매우 흡사한 입법고시 PSAT이고 우측은 행정고시 PSAT 기출문제다.
유사한 자료를 활용한 두 문제인데, 경향은 판이하다. 좌측(입법고시 기출)은 학원 모의고사 스타일로, 계산을 일일이 하지 않으면 결코 답을 구할 수 없는 반면 우측(행정고시 기출)은 어림산으로도 정답 도출이 가능하다. 자세히 보면 행시 기출문제는 의도적으로 값을 단순화하기까지 했음을 알 수 있다. 이처럼 PSAT 기출문제는 검토 과정에서 지나치게 복잡한 수치를 제거하면 했지, 일부러 끼워 넣지 않는다. 좌측의 시험(입법고시, 학원 모의고사)과 우측의 시험(행정고시 PSAT)은 생김새만 비슷할 뿐 서로 완전히 다른 시험이다. (우측이 원숭이 닮은 사람이라면 좌측은 사람 닮은 원숭이다)
이제 학원의 공갈협박에서 벗어날 때가 되었다. PSAT에서 요하는 암산은 두 자릿수 곱셉 정도로 단순한 수준이며, 어림산은 더 쉽다. 왜 우린 어림산과 암산의 존재를 알면서도 활용하지 못했을까? 그야 당연히 아무도 이게 중요하다고 말해주지 않았고, 이걸 훈련해야 한다고 알려주지 않았기 때문이다.
본격적으로 어림산에 대해 살펴보자. PSAT 자료해석에는 어림산으로 푸는 문제가 굉장히 많고, 상황판단 퀴즈 문제에서도 어림산은 심심찮게 쓰인다. 애당초 '자료를 해석해라'라는 말은, 자료가 가진 경향성과 의미를 읽어내는 능력을 보겠다는 것이지 하나하나 계산하는 산수 실력을 보겠다는 게 아님을 명심하자.
* 혼동이 있을까 하여 짚고 넘어가자면, 계산과 어림산은 분명 다른 개념이다. 계산은 정확한 값을 도출해내는 것이고 어림산은 대소 비교 등 대략적인 추이를 비교할 때 사용하는 방식이다. (13 × 12를 계산하면 156이라는 값이 도출되지만, 어림산을 한다면 대충 130은 넘네 이렇게 판단하는 것이다)
어림산은 대충 짐작하는 것, 또는 감으로 찍는 것이라 생각하여 평가절하하는 사람이 많다. 그러나 어림산은 현실에서는 굉장히 실용적인 판단 방식이며 실무에서도 하루가 멀다 하고 쓰인다. 예를 들어보자. 사업의 진행 추이를 판단할 때, 100억 원의 예산을 5월까지 30% 실 집행했다면 12월까지는 몇 퍼센트 정도 사용하게 될지, 코로나19로 인해 1~3월에 비해 4~5월의 월평균 예산 집행규모가 절반이 되었고 코로나19가 연말까지 지속될 예정이라면 금년 예산의 실집행률은 몇 퍼센트가 될지, 이런 판단이 이어지는 것이 실무 현장이다.
국장님께 보고를 드릴 때면, 갑자기 사업 진행상황이나 향후 추이를 물으실 때도 있다. 이때 일일이 계산기를 두드려가며 대답하는 사람은 없고 그런 시간적 여유도 없다. 국가가 원하는 인재는 주머니 속에 계산기를 넣어두는 사람이 아니다. 메모장을 꺼내 손으로 계산하는 사람은 더더욱 아니다. 순간적으로 진행 양상과 대략적인 추이를 파악할 수 있는 사람을 원한다.
위 예시를 다듬어 선지 5개를 붙이면 상황판단 문제가 완성된다. 결국 PSAT이 지금의 경향을 띨 수밖에 없는 이유는 현직 사무관들이 자신의 업무에 착안해 문제를 출제하기 때문이다. 실무가 PSAT과 다른 점은 문제를 파악하는 데 그치지 않고 개선방안과 추진계획 등 해결책을 제시해야 한다는 것뿐이다.
어림산으로 비교가 가능함에도 손으로 계산한다면 불필요한 시간낭비를 하고 있는 것이다. 계단을 한 달음에 두세 칸씩 오를 수 있음에도. 한 칸씩 종종걸음으로 오르는 것과 같다. 겁먹지 말자. 실제 시험에서 그렇게 복잡한 계산을 해야 할 필요는 없다.
어림산은 계산보다 빠르기 때문에 시간을 절약하는 데 큰 도움이 된다. 되도록이면 계산보다 어림산으로 문제를 풀어보자. 어림산의 숨은 장점은, 했다가 안 풀리면 그때 계산해도 늦지 않는다는 것이다.(밑져야 본전) 그리고 무엇보다도 기출문제를 보면 어림산만으로 풀리는 문제가 우리 생각보다 훨씬 많다. 아래의 예시를 보자.
2021년 국가공무원 5급 공채 등 필기시험(PSAT) 자료해석(가) 1페이지위 문제는 올해 초 시행된 5급 공채 PSAT의 1번, 2번 문제다.
먼저 위 두 문제를 4분간 풀어보자.
(여건이 안된다면 바로 설명을 보아도 좋지만, PSAT에 진심이라면 되도록 풀고 설명을 보는 것을 권한다)
1번 문제부터 보자. 1번 문제는 계산이 필요한 보기(ㄹ)가 있으나, ㄹ을 판단하지 않고도 답을 도출할 수 있기 때문에 결과적으로 (답을 도출함에 있어) 계산이 없는 문제나 마찬가지다.
ㄱ. 2019년 고령인구 비율이 가장 낮은 지역은 2025년 대비 2045년 고령인구 증가율도 가장 낮다. → 세종시의 이야기다. 세종시는 2025년 고령인구비율 11.6%다. 이는 눈으로만 찾으면 된다. 그리고 2045년과 비교해보면, 세종시는 고령인구가 45천 명에서 153천 명으로 늘어나는데 어림산으로 봐도 3배 이상이 는 것이다. 헌데 당장 표의 바로 위칸에 있는 울산시만 보더라도, 2025년 193천 명에서 2045년 352천 명으로 2배도 안 늘어났다. 그래서 ㄱ은 틀린 것이다.
ㄴ. 2045년 고령인구 비율이 40% 이상인 지역은 4곳이다. → 눈 잘 뜨고 세면 된다
ㄷ. 2025년, 2035년, 2045년 고령인구 상위 세 개 지역은 모두 동일하다. → 출제자의 함정이 있는데, 고령인구 상위 세 개 지역이지, 고령인구 비율 상위 세 개 지역이 아니다. 만약 이를 착각했다면 "뭘 판단해야 하는지 절대 헷갈리지 말자" 정도로만 오답 정리를 하면 그만이다. 좀 귀찮게 하는 보기지만 부산과 경남이 시간의 흐름에 따라 순위가 역전된다는 사실을 찾는 건 어렵지 않다.
ㄹ. 2045년 충북 인구는 전남 인구보다 많다. → 이 보기는 계산을 요한다. 2045년 충북 고령인구는 646천 명(39.1%)이므로 대략 660천 명이 40%라고 보고 암산으로 2.5배 곱하면 총인구가 대략 1650천 명(660 × 2.5)임을 알 수 있다. 한편 전남은 고령인구가 740천 명(45.3%)이므로 2배 곱한 후 10%를 늘려주면 (740 × 2 + 148) 1630천 명 정도임을 알 수 있다.
ㄹ보기 때문에 계산이 필요하다고 생각 할 수도 있다. 그러나 여전히 계산은 필요없다. 왜냐면 선지가 보기 두 개씩 엮여있어 ㄱ, ㄴ, ㄷ만 판단해도 답을 고를 수 있기 때문이다. 우연의 일치가 아니냐 물을 수 있지만, 출제위원들은 ㄹ에 복잡한 계산이 필요하다는 사실을 감안하고 선지를 구성한다. 즉 ㄹ의 계산이 치졸(?)할 정도로 디테일을 요하지만, 사실 ㄱ~ㄷ을 판단하는 것만으로도 답을 도출할 수 있으므로 별 문제되지 않는다고 여겼을 가능성이 높다.
답은 4번 ㄴ, ㄹ이다.
다음으로 2번 문제를 보자. 2번도 계산은 필요 없다.
2번 문제는 선지 구성이 답을 찾기 쉽게 되어있다. (교수님들께 이렇게 선지 구성하시면 안 된다고 그렇게 말씀드렸건만) 어림산에 대한 설명과 별개로 내가 실제 시험장에서 답을 찍을 때 쓰는 방식을 소개하자면, 선지 구성상 ⑤번, ②번, ④번은 지우고 ①번과 ③번 중 하나를 선택할 것이다. 그럼 결국 찍더라도 50%의 정답률을 확보할 수 있다. (난 이런 방식으로 풀지 않고 넘겼던 어려운 문제들을 맞추는 경우가 많았다) A/B/D 에 대한 선지 구성을 순차로 살펴보자. A의 경우 '희귀'가 ⑤번 선지에만 혼자 있다. 답이 될 리가 없다. B의 경우 ②번, ④번에 암과 희귀가 하나씩 들어있는 데 비해 심장은 나머지 3개 선지에 들어가 있다. 그럼 심장이 B일 확률이 매우 높다. 그리고 D의 경우, 희귀가 3개 선지에 들어가 있어 역시 희귀가 답이 될 확률이 높다. 그렇게 다 지우고 ①번과 ③번만을 두고 보자면, A에 대해서만 판단하면 되는 것이다.
이제 위의 답을 찍는 방식(이건 추후에 자세히 설명하겠다)은 넘어가고, 어림산이 어떻게 적용되는지 살펴보자. 이 문제는 A/B/D순서로 찾는 게 아니라 <보고서>에 서술된 순서대로 찾아나가는 것이다.
'4대 질환 중 전체 보험혜택 비율이 가장 높은 질환은 심장 질환이었다' → 표의 1행을 보면 B질환이 보험혜택 비율 7.5%로 가장 높다. 눈으로도 판단 가능하다.
'뇌혈관, 심장, 암 질환의 1분위 보험혜택 비율은 각각 5분위의 10배에 미치지 못하였다' → D질환을 제외하곤 1분위 보험혜택 비율이 5분위의 10배에 미치지 못하므로 D는 뇌혈관, 심장, 암이 아닌 희귀 질환임을 알 수 있다. 역시 눈으로 '자료를 해석'하기만 하면 된다
'또한, 뇌혈관, 심장, 희귀 질환의 1분위 가구당 보험급여는 각각 전체 질환의 1분위 가구당 보험급여의 3배 이상이었다' → 전체 질환의 1분위 가구당 보험급여(128,~)의 3배를 넘지 않는 건 딱 봐도 A뿐이다. 즉 B, C, D가 뇌혈관, 심장, 희귀 질환이므로 A는 암 질환임을 알 수 있다.
답은 ③번이다.
어림산이 얼마나 많이 쓰이는지, 그리고 계산은 얼마나 안 쓰이는지 보기 위해 문제를 풀어보았다. 몇 문제 더 풀어봐도 마찬가지다. (사실 5번까지 풀려다가 각론에서 할 말이 없어질 듯 하여-사실 너무 힘들어서-관뒀는데, 혼자서라도 풀어보면 좋다) 기출문제는 복잡한 계산을 별로 요하지 않는다. 간혹 계산을 요구하는 보기가 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ중 한 두 개 포함된 경우는 있다. 그럴 땐 해당 보기들을 후순위로 판단하자. 다른 보기를 판단하는 것만으로도 답이 도출될 수 있는데 굳이 계산에 매달릴 필요 없다. (혹여나 연습 많이 했다고 도전할 생각도 하지 말자. 아무리 잘해봤자 책상 위 쌀집 계산기만도 못하다)
어림산이 필요하다는 사실은 알겠는데, 어떻게 훈련해야 하는지 아직 감이 안 올 수 있다. 어림산 과정을 차근차근 알아보자. 어림산은 말 그대로 '어림짐작(의미 : 대강 헤아리는 짐작)하는 산수'이다. 또 다른 문제(2021년 기출문제 5번)를 살펴보자.
5번 문제를 보자. 전형적인 어림산 문제다.5번 문제는 얼핏 보기에 표 하단에 비율에 관한 분수가 존재하고, 표 안에 주어진 수치가 복잡한데다가 <보기> 구성또한 복잡한 수치를 요하는 것으로 보인다. 과연, 실제 풀어보면 어떨까? (2분간 문제를 풀어본 후 아래 설명을 읽자)
ㄱ. 2020년 전체 대학의 전임교원 담당학점 비율은 비전임교원 담당학점 비율의 2배 이상이다. → 전임교원 담당학점 비율은 전체 66.7%이고, 비전임교원의 담당학점 비율은 33.3%이다. 어림산조차 필요없는 '눈대중' 보기이다.
ㄴ. 2020년 전체 대학의 전임교원 담당학점은 전년 대비 1.1% 줄어들었다. → 2020년 값은 479,876이고 2019년 값은 476,551이다. 전년 대비 증가했기 때문에 증감 방향 자체가 틀렸다. 한마디로 시력테스트용 선지다. 이때 보기ㄱ은 ’담당학점 비율‘을, 보기ㄴ은 ‘담당학점’을 비교하고 있다는 점을 놓치지 말자.
ㄷ. 사립대학의 경우, 비전임교원 담당학점 중 강사 담당학점 비중의 2019년과 2020년간 차이는 10%p 미만이다. → 참 친절한 출제자가 아닐 수 없다.. ㄴ에서 %와 %p의 차이를 인지하지 못하고 넘어왔을 가여운 수험생을 위해 %p를 한 번 더 보여준다. ㄷ의 경우 어림산으로 판단이 가능하나, 노파심에 한마디 하자면 다른 보기에 비해 판단하는 시간이 오래걸리므로 실전이라면 가장 마지막 순서에 판단하는게 현명하다. (ㄱ부터 순서대로 판단해야 할 이유는 하나도 없다, ㄷ이 어렵다면 ㄹ을 먼저 판단하는게 옳다)
사립대학 비전임교원 담당학점 중 강사 담당학점 비중을 각각 살펴보면, 2019년의 경우 165,975 중 78,441이고 2020년의 경우 176,460중 105,394다. 2019년 값을 보면 얼핏봐도 50%미만인데, 비전임교원의 학점을 대략 166,000이라고 치면 50%값은 83,000이고, 강사 학점(78,441)과는 4500정도(대략 166,000의 3% 이하) 차이가 나므로 대충 47.xx%쯤일테다. ㄷ선지를 판단하려면 2020년의 강사 담당학점 비중이 60%를 넘는지를 기준으로 살펴보는 것이 좋겠다. 60%이상이라면 무조건 10%p 이상 차이가 나는 것이므로 ㄷ이 틀렸음을 즉시 판단할 수 있기 때문이다. 176,460의 60%값을 파악하기 위해 계산을 단순화하여 대략 17.5 × 6 를 구해보면 (이것도 더 단순화하면 35 × 3 이다) 105임을 알 수 있다. 결과적으로 2020년도의 강사학점은 비전임교원 학점 중 약 60% 비중을 차지함을 알 수 있고 ㄷ이 틀렸다(10%p 이상 차이난다)고 결론낼 수 있다.
ㄹ. 2019년 대비 2020년에 증가한 비전임교원 담당학점은 비수도권 대학이 수도권 대학의 2배 미만이다. → 전형적인 어림산 보기다. 2020년과 2019년 수도권/비수도권의 비전임교원 담당학점을 비교해보자. 우선 비수도권 대학의 비전임교원 담당학점은 1년 간 8,900 증가했다. 그리고 수도권 대학의 경우 대략 4540정도 증가했다. (이정도 덧뺄셈은 암산으로 가능해야 한다.. 이 정도가 암산으로 안된다면 암산 훈련을 하자. 아침에 알람어플 켜두고 몇 문제라도 훈련하자) 이제 어림산으로 비교하면 4,500의 2배는 9,000이므로 비수도권 대학 비전임교원 담당학점의 증가폭(8,900)이 수도권 대학 증가폭(4,540)의 2배 미만임을 알 수 있다.
시중의 계산 연습 교재들은 ㄷ, ㄹ 보기의 값을 정확히 구하는 연습을 시킨다. 이걸 손으로 계산하는 순간 스스로 무덤을 파는 꼴이다. (창의적이야) 우리에겐 정확한 계산이 필요 없다. 어림산은 판단에 지장이 없는 적당한 오차를 무시하는 데서 출발한다.
물론 어림산을 하면 안 되는 경우가 있다. 문제의 선지 자체가 구체적인 값을 도출하도록 구성된 경우(예를 들어 문두 자체가 'A 커피의 가격은?'과 같이 정확한 값을 요구하는 경우로, 선지가 3200원, 3500원, 3800원과 같이 구성된 경우라면 꼼짝없이 계산해야 한다), 또는 어림산으로는 판단이 불가능할 정도로 치졸하게 묻는 경우(위에서 예로 들었던 2021년 기출문제 1번의 ㄹ보기)가 그렇다. 너무 겁먹지는 말자. 실제 시험에서 시중의 계산연습책 정도로 잔혹한 계산은 나오지 않고, 나왔더라도 보기/선지의 일부이므로 다른 보기/선지를 먼저 판단하면 된다. 혹시 출제위원들의 무자비함으로 인해 모든 보기/선지에 대한 계산이 필요한 문제가 출제되었다면 풀지 않고 패싱하면 그만이다. (교수님 죄송한데 저는 이 문제 안 풀어요) 후에 문제를 패싱하는 방법에 대해서도 부연하겠다
어림산에 대한 설명은 이걸로 끝이다. 스스로 어림산에 대해 훈련하는 방법은 매우 단순하다. 아래의 준비물을 갖추고 여느 때처럼 문제를 풀어보자. 꼭 한 번에 40문제를 풀 필요도 없다. 시간을 지키는 훈련은 10문제를 20분간 풀든, 40문제를 80분간 풀든 효과가 동일하기 때문이다. 피곤하다면 10문제(20분)씩 끊어 훈련해보자.
준비물 : ①대충 계산하겠다는 마인드 ②되도록 손으로 계산하지 않겠다는 굳은 다짐 ③행시 PSAT 자료해석 기출문제(연도 무관) ④문제당 2분을 잴 수 있는 스톱워치
어림산의 필요성에 대해 역설하다 보니 글이 너무 길어졌다. (이게 아닌데)
암산 훈련법은 다음 글에서 알아보자.
