For the 수포자 3.
3. 중등 수학 2.
중등 수학으로 넘어오면서 가장 큰 변화라 할 수 있는 대수학의 시작과 음수의 등장, 이 두 가지 큰 변화의 복합적인 융합은 중등 수학의 본격적인 시작을 알리는 일차방정식一次方程式으로 연결됩니다.
이 일차방정식을 기하학幾何學적인 관점으로 접근하는 것이 바로 함수函數입니다. 연결고리 즉, 방정식과 함수의 연결고리를 제대로 이해하는 것이 중등 수학의 마무리이며 고등 수학의 시작이라고 할 수 있습니다.
대수학이라는 단어에서부터 표현이 주는 어려움이 있었는데 기하학이란 단어까지 나오니 역시 수학답게 쳐다보기 싫어집니다. 하지만 말이 어려워서 그렇지, 대수학은 앞글에서 이미 간략히 설명했습니다.
그렇다면 일차방정식을 기하학적인 관점으로 접근하는 것은 무엇인가? 하는 의문이 들 수 있을 텐데, 간단히 정리하면 별 이야기 아닙니다. 물론 대수학이나 기하학이나 절대 간단한 학문은 아닙니다. 그렇기에 더욱더 간단하게 과감하게 잘라내 이야기해 드리려 합니다.
같은 내용을 방정식으로 보는 것이 대수학이고, 함수로 보는 것이 기하학입니다. 함수로 보는 것이 기하학이란 말이 아직 어려울 텐데, 기하학을 공부하고 연구하는 전문가분들에게 죄송하지만 이렇게 표현할 수도 있습니다. 방정식이 담고 있는 내용을 그림(좌표평면에 그리는 함수의 그래프)으로 이해하는 겁니다.
‘내용물은 같지만 한쪽은 식이라는 포장지를 쓰고,
한쪽은 그림이라는 포장지를 썼을 뿐입니다.’
방정식에 대한 설명을 함수로 연결해 이야기해 드리도록 하겠습니다. 우선, 방정식은 등식의 한 종류입니다. 등식等式은 항등식恒等式과 방정식으로 구분됩니다. 간단히 이야기하면 항등식은 미지수에 어떠한 값을 넣어도 항상 성립하는 식입니다.
예를 들면
2(χ - 3) = 2χ - 6과 같은 식을 의미합니다.
좌, 우변 식이 결론적으로 같기에 양변 미지수에
어떠한 값을 넣어도 항상 성립하게 됩니다.
그에 반해 방정식은 미지수에 특정한 값을 넣었을 경우에만 성립하는 식입니다.
예를 들면
2(χ - 3) = χ - 8과 같은 식을 의미합니다.
이 등식을 만족하는 미지수는 -2밖에 없습니다.
방정식의 풀이는 등식의 성질에 의해 설명됩니다. 등식의 성질이란 ‘등식의 좌, 우변에 같은 값을 더하거나, 빼거나, 곱하거나, 나누어도(물론 0으로 나눌 수는 없습니다.) 좌, 우변은 같다.’입니다.
예를 들면
χ ＋ 2 = 1 이란 등식은 등식의 성질에 의해
양변에서 2를 빼도 결과는 같습니다.
이 부분을 정리하여 이항移項으로 명명하여 가르칩니다.
하나 더 예를 들어 보면
2χ = 4 란 등식의 양변을 2로 나눠도 결과는 같습니다.
보통 이 과정도 아이들은 이항이라고 하는데,
정확히 이항이란 표현을 쓸 수는 없습니다.
일차방정식의 기본적인 풀이를 등식의 성질에 의해 설명했습니다. 중1 때는 배우지 않지만 미지수가 2개인 일차방정식을 엮어 푸는 것을 연립聯立일차방정식이라고 합니다. 연립방정식은 아름답게 함수로 연결됩니다.
예를 들면
χ ＋ ｙ = 2,
-χ + ｙ = -1 인 연립일차방정식의 답은
ｙ = -χ + 2,
ｙ = χ - 1 두 일차함수의 교점의 좌표와 같습니다.
이 연결, 단순하고도 아무것도 아닌 것 같은 이 연결이 거짓말 조금 보태서 중, 고등학교 수학의 거의 전부라고 해도 과언이 아닐 겁니다. 하지만 이 부분을 중요하게 생각하는 아이들은 거의 없습니다. 방정식과 함수의 연결에 더해 부등식까지 복합적으로 연결시키기 위해서 중등 시절에 기초적인 방정식과 함수로 반드시 이해해야 합니다.
공부해야 할 이유를 찾고, 특히 수학을 어려워하는 아이들을 위해 초, 중등 수학에 있어 중요한 내용만 짚어 보려는 의도로 글을 쓰기 시작했습니다만, 싹둑싹둑 잘린 단편적인 수학적 지식만 전달하는 느낌이 들어 다소 아쉽습니다. 간단하지만 그럼에도 나름 방대한 양을 가지고 있는 초, 중등 수학의 모든 부분을 이야기해 드리기엔 우선 저의 능력이 부족하고, 그럴 거면 학년 별 개념서를 그대로 복사 붙이기 하는 게 낫지 않을까 하는 마음이 들었습니다.
그래서 현장에서 아이들을 가르치며 정말 중요한 부분만 간결하게 이야기해 드리려다 보니 약간은 의도에서 비껴 단편적인 지식 전달에 그친 듯합니다. 그럼에도 나름 의미는 있을 듯하여 시작한 내용 이어 가려합니다. 부족하지만 너그러운 마음으로 가볍게 읽어 주시면 감사하겠습니다.
공부가 그냥 싫고, 힘들고 특히 수학은 포기하고 싶은 아이들에게 조금이나마 희망을 주고 싶은 간절한 마음이 부족한 내용 정리와 글 솜씨로 다소 빛이 바래 아쉽지만 그 마음은 진실되기에 용기 내어 끝까지 가보겠습니다.
다음으로 이어집니다.
