For the 수포자 2.
2. 중등 수학 1.
다양한 수학적 경험과 간단한 연산에 그치는 초등 수학을 마무리하면 중등 수학이 시작됩니다. 초등 수학과 중등 수학의 가장 큰 차이점은 대수학代數學의 시작과 음수陰數의 등장입니다.
대수학代數學이란? 숫자 대신에 그 숫자를 대표하는 문자를 써서 수학 법칙을 간명하게 나타내는 수학의 한 분야를 말합니다(다음 사전 참고). 더 쉽게 말하면 중등 수학으로 넘어오면서 방정식方程式을 본격적으로 배운다는 이야기입니다.
예를 들면
□ + 2 = 5 같은 표현의 문제가
χ + 2 = 5 바뀌어 표현됩니다.
물론 초등 시절의 표현 역시 대수학이 맞습니다. 하지만 초등생 수준에 맞춘 표현 방식으로 본격적인 대수학이라고 하기엔 표현 방식이 다소 미숙합니다. 중등 수학에 이르러서야 모르는 값, 다시 말해 미지수未知數를 문자를 사용해 표현합니다.
이 작은 표현 방식의 변화 하나로 뭔가 조금 더 수학다워진 느낌을 줍니다. 그리고 이런 느낌은 ‘중등 수학은 역시 어렵구나.’라는 부정적인 인식을 심어 주는 데도 한몫합니다.
이 지점에서 초등 시절의 표현 방식과 중등 시절의 표현 방식의 근본은 같음을 명확하게 아이들에게 인지 시켜 줄 필요가 있습니다. 어려워진 것이 아니라 단순한 표현 방식의 변화일 뿐입니다. 농담 삼아 이렇게 말해주는 것도 괜찮은 방법입니다.
‘중학생이 됐으니, 네모, 세모는 그만 쓰고 멋있게 문자 쓰는 거야.’
두 번째 큰 변화는 음수의 등장입니다. 초등 수학에선 작은 수에서 큰 수를 뺄 수가 없습니다. 음수를 배우지 않기 때문입니다. 6년 이란 시간 동안 큰 수에서 작은 수를 빼오다 작은 수에서 큰 수를 뺄 수도 있고, 답 역시 음수라는 듣도 보도 못한 개념이 튀어나오기에 이 부분을 이해시키는 것이 쉬운 일이 아닙니다. 중학교 1학년 1학기라는 시간을 다 써서라도 이해시켜야 합니다.
그만큼 받아들이기도 힘들고 중요한 부분이란 이야기입니다. 13년의 인생 동안 6년을 큰 수에서 작은 수를 빼 오다 뒤집어서 계산을 하라고 하니 여간 어색한 게 아닙니다. 이 개념을 중학교 1학년 때 제대로 잡지 못하고, 중학교 3학년 때까지 헤매는 아이들이 현장에 정말 많습니다. 반드시 잡아야 할 개념입니다. 이 개념을 확실히 잡기 위해 우선은 음수의 존재, 다시 말해 수 체계를 알아야 합니다.
중1 때는 ‘유리수有理數’까지만 배웁니다. 유리수는 두 가지로 나뉩니다. 정수가 아닌 유리수(쉽게 말해 분수와 소수小數를 이야기합니다.)와 정수整數로 구분되는데, 정수는 다시 양의 정수(+1, +2, +3, ….), 0, 그리고 음의 정수(-1, -2, -3, ….)로 분류됩니다. 중2 때 무한소수의 한 종류인 ‘순환소수’를 배웁니다. 중3 때 무리수가 추가되면서 실수 전체를 배움으로써 중등 수학의 수 체계가 마무리됩니다. 그리고 고등 수학에 가서 허수를 배우며 복소수를 완성하고 수 체계는 끝이 납니다.
중1 때는 유리수까지만 배우지만 뒤 이어 학년이 올라가면서 수 체계가 넓어진다는 것을 미리 이야기해주는 것도 좋습니다. 수학 학습의 연결성 혹은 지속성이라는 개념을 심어 주기에 좋은 소재입니다.
수 체계의 이해를 통해 음수의 존재를 확인했다면 이제 사칙연산입니다. 기본은 덧셈과 곱셈을 확실히 이해하는 것입니다. 뺄셈이란 개념은 사실 덧셈에서 파생된 하나의 개념 정도로 받아들여도 됩니다. 그리고 일반적으로 중등 수학에선 나눗셈을 직접 하기보단 곱셈으로 바꿔 계산하거나, 나눗셈을 분수로 바꿔 표현하는 경우가 많습니다.
예를 들면
5 - 2 = 3 이란 계산은
5 + (-2) = 3이란 계산을 부호 정리한 것입니다.
3 ÷ 4 = 0.75라는 표현보다는
3 × 1/4 = 3/4로 정리해 계산합니다.
뺄셈은 덧셈의 부호 정리에 의한 표현이라는 것과, 나눗셈은 곱셈으로 바꿔 계산하는 것과 분수로 적극적으로 변환한다는 것을 이해했다면 사칙연산 개념의 반은 끝난 겁니다. 이어서 부호가 같은 수끼리의 덧셈은 숫자끼리 더하고 답에 해당 부호를 붙여 주면 되고, 부호가 다른 수끼리의 덧셈은 숫자가 큰 쪽에서 작은 쪽을 뺀 결과에 큰 쪽의 부호를 붙여 주면 됩니다.
곱셈과 나눗셈은 더 쉽습니다. 위에서 이야기한 대로 나눗셈은 곱셈으로 바꾼 뒤에 숫자들의 부호를 무시하고 기존 계산방법대로 곱해주면 됩니다. 그리고 계산하는 과정의 숫자들의 음수의 개수가 홀수이면 결과는 음수 부호를 붙여 주면 되고, 짝수이거나 없으면 마무리 지으면 됩니다.
예를 들면
(+5) + (+2) = 5 + 2 = 7
(-5) + (-2) = -5 - 2 = -7
(+5) + (-2) = 5 - 2 = 3
(-5) + (+2) = -5 + 2 = -3
5 × (-2) × 3 = -30
5 × (-2) × (-3) = 30
5 × 2 × 3 = 30
5 × (-2) ÷ 3 = 5 × (-2) × 1/3 = -10/3
이런 식으로 계산을 합니다.
무엇보다도 음수의 존재를 확실하게 이해시키는 것이 관건입니다. 음수의 존재만 확실히 이해하고 위에서 이야기한 사칙연산만 무리 없이 할 수 있다고 해도 중1 수학은 반은 성공한 것이라고 자신 있게 말할 수 있습니다. 그리고 방정식과 함수函數(중1 교과서에선 함수라는 표현을 쓰지 않고 정비례, 반비례라는 표현을 씁니다.)를 통해 대수학은 꽃을 피울 준비를 합니다.
다음으로 이어집니다.
