For the 수포자 4.
4. 중등 수학 3.
일차함수에 대해 조금 더 이야기해 보도록 하겠습니다. 일차함수의 기본적인 식, 다시 말해 ｙ = ａχ ＋ ｂ를 확실하게 이해하면 됩니다. χ에 대한 일차식의 결과를 ｙ값으로 결정짓는 관계를 식으로 이해하고, 그 내용을 좌표 평면에 표현할 수 있다. 이게 바로 일차함수의 기본입니다.
여기에서 ａ의 의미는 기울기입니다. 일차함수의 그래프는 직선으로 표현됩니다. 즉, 주어진 일차함수의 그래프가 χ축을 기준으로 얼마만큼 기울어져 있는지를 의미합니다. 그리고 ｂ는 ｙ절편을 의미합니다. ｙ절편이라 함은 일차함수의 그래프는 직선이기에 좌표평면에 일차함수의 그래프를 그리면 χ축과 한 번, ｙ 축과 한 번만 만나게 됩니다. 이때 ｙ 축과 만나는 점을 ｙ절편이라 합니다.
일차함수의 그래프는 직선입니다. 직선은 무수히 많은 점들의 모임입니다. 이런 직선을 표현하기 위한 최소한의 점의 개수는 2개입니다. 즉, 직선으로 표현되는 일차함수의 그래프를 그리기 위해 2개의 점만 있으면 됩니다. 그 어떤 점이라 해도 상관없습니다. 하지만 그중에서도 가장 특징적인 점이라 할 수 있는 χ절편과 ｙ절편을 주로 이용합니다. 게다가 ｙ절편은 일차함수의 기본 식에도 표현되는 내용이기에 그 중요도가 조금 더 높습니다.
일차함수의 기본적인 식을 쓸 수 있고, 기본 식에 표현되는 기울기와 ｙ절편을 확실히 이해하고, 해당 내용을 바탕으로 좌표평면상에 그래프를 그릴 수 있다. 이 부분을 완성할 수 있다면 이어 나오는 이차함수도 어렵지 않게 이해할 수 있습니다. 이차함수 이야기가 나왔으니 결론적으로 이야기드리면 중등 수학은 이차함수의 완성이라고 해도 과언이 아닙니다. 즉, 중등 수학의 완성이라 할 수 있는 이차함수를 일차함수를 통해 시작한다고 보면 됩니다. 조금 더 확장시켜 이야기한다면 고등수학에 나오는 다양한 함수들도 결국 시작은 중등 수학의 일차함수입니다.
안타까운 현실은 아이들이 이 함수를 그냥 마냥 어려운 단원으로만 치부해 버리고, 제대로 이해조차 하려 하지 않는다는 점입니다. 이는 사실 어찌 보면 당연한 결과일 수 있습니다. 기본적인 수의 영역을 이해하고, 이를 바탕으로 식의 계산, 다시 말해 다항식의 이해와 다항식의 계산을 배웁니다. 그리고 이어서 방정식을 풀게 됩니다. 그다음이 함수입니다. 즉, 하나로 연결된 일련의 과정의 최종적인 결과로써 함수를 이해해야 합니다. 보다 직접적으로 이야기드리면 중1-1학기 수학은 위의 과정을 통해 마지막에 일차함수(정비례, 반비례)의 시작을 배우고, 중2-1학기는 일차함수를 완성하고, 중3-1학기는 이차함수를 배우면서 중등 수학의 주요 내용을 마무리합니다. 이 중에 내용이 하나라도 빠지게 되면 함수를 완벽히 이해하기는 어렵습니다.
그런데 아이들은 이런 일련의 과정의 결과로써 함수를 이해하지 않고 그냥 어려운 단원, 그래프 그리는 단원 등으로만 바라봅니다. 다시 말해 함수를 향해 가는 하나, 하나의 과정을 착실히 밟아 나간다면 계단을 밟아 높은 건물을 올라갈 수 있듯이 힘들겠지만 분명히 함수를 이해할 수 있습니다.
중등 수학 대장정의 마지막은 위에서도 살짝 언급했지만 이차함수의 완성입니다. 이차함수를 향해 가기 위해 필요한 내용을 이야기해 보겠습니다. 첫 번째는 다항식의 계산입니다. 다항식의 덧셈과 뺄셈은 어렵지 않습니다. 동류항同類項만 이해한다면 아주 쉽게 정리할 수 있습니다. 그렇다고 다항식의 곱셈, 나눗셈이 특별히 더 어려운 건 아닙니다. 우선 중등 수학에선 다항식의 직접적인 나눗셈은 다루지 않습니다. 남아 있는 계산과정이 곱셈인데 분배 법칙에 의해 순서대로 계산하면 됩니다.
자주 쓰이는 다항식의 곱셈이 정리돼 공식화한 것이 바로 곱셈 공식입니다. 곱셈 공식은 반드시 외워야 합니다. 수학은 이해하는 과목이라는 착각에서 벗어나 이해를 했다면 즉, 곱셈 공식을 다항식의 곱셈으로 이해했다면, 외워서 실제 문제에 바로 활용할 수 있어야 합니다. 그리고 단순하게 곱셈 공식이 다항식의 곱셈을 조금 더 편하게 하기 위한 공식에 머문다면 굳이 외울 필요는 없습니다만 곱셈 공식의 변형이라는 부분과 인수분해因數分解를 바탕으로 한 이차방정식을 풀기 위해서 반드시 이해하고 외워야 합니다.
곱셈 공식은 중고등학생의 구구단과 마찬가지입니다. 초등시절을 떠 올려 본다면 구구단을 외우지 않고는 절대 일정 수준 이상의 계산을 할 수 없다는 점을 비춰 봤을 때 곱셈 공식의 중요도는 더 이상 설명이 필요 없을 정도입니다.
하지만 아이들은 잘 외우려 하지 않습니다. 암기를 죄악시하는 지금의 교육풍토와 그런 풍토를 이용해 먹는 아이들의 마음가짐에 의해 어떠한 당근과 채찍을 줘도 잘 외우지 않습니다. 이 부분의 중요도를 확실히 인지시켜 반드시 외울 수 있게 지도해야 합니다. 극단적으로 곱셈 공식을 외우지 않겠다고 하면 더 이상 수학 공부를 할 필요 없다고 말해도 될 정도입니다.
곱셈 공식이 완성되면 곱셈 공식의 역연산이라 할 수 있는 인수분해가 시작됩니다. 인수라고 하는 것은 어떠한 대상을 나누었을 때 나누어 떨어지게 하는 수나 식을 의미합니다.
예를 들면
6 = 2 × 3에서 6을 2 또는 3으로 나누면 나누어 떨어집니다.
이런 수들을 6의 인수라고 합니다.
위 내용이 다항식의 곱셈에도 그대로 적용되는 것이 인수분해입니다. 그래서 다시 정리하면 곱셈 공식을 통해 다항식을 전개한다면, 인수분해를 통해 전개된 식을 다시 묶어 곱의 형태로 정리하는 것입니다. 이 인수분해는 이차방정식 풀이의 근간입니다. 그러니 반드시 이해가 필요하며 교과서에 표현되는 인수분해 공식이라고 하는 것이 결국 곱셈 공식을 뒤집어 놓은 것이기에 자연스럽게 곱셈 공식의 이해가 필요하다는 결론에 이르게 됩니다.
다음으로 이어집니다.
