역함수의 선물, 너의 입장에서 나를 보다
중용을 잃지 않은 항등 함수
함수의 정의에 대해 학생들의 정리되지 않은 아직 날 것인 생각을 듣고 나누고 싶었다. 그래서 함수의 개념에 대해 다시 질문하고 모두의 생각을 읽는다. "함수의 정의에 대해 정리해 줄 수 있는 사람 있을까? 자신만의 방법으로 함수를 정의해 보자." 함수는 변수 x, y에 대해 x값 각각에 대하여 y값이 하나씩만 대응되는 관계 또는 식을 말한다. 이 내용을 지금까지 수업을 하면서 이미지화시켜서 기억하는 친구들도 있었지만 어렴풋이 알고는 있으나 마인드맵을 할 수 없다는 친구들이 더 많았다. 결국 개념을 정리하지 못하는 쪽이 훨씬 많았다.
그런 친구들에게 지나가는 말로 퀸카와 킹카가 등장하는 이야기를 예를 들어 함수를 다시 풀었더니 아~~~~ 하는 게 아닌가? x에서 y로의 대응관계에서 여러 사람이 나를 선택하는 경우는 성립하지만 상대가 마음에 든다고 해서 내가 두 사람 이상을 동시에 선택해서 사랑고백을 할 수는 없다. 이와 같이 인간관계에서의 관계의 대응 또한 함수로 나타낼 수 있다. 함수의 정의를 살피니 우리 삶의 도덕적 질서가 보인다. 에피소드의 미덕도 퀸카나 킹카까지만... 범위를 확장시켜도 거기까지만 인정해 주는 것으로 간주한다. 나의 마음이 수시로 여러 사람을 향한다고 해서 변하는 사람의 마음을 정당화하면서 모두 인정하고 움직이는 대로 따라갈 수는 없다. 사랑에 대한 도덕적이지 못한 이유에서이다.
다시 좌표평면을 살펴본다. 대응하는 점을 하나씩 표기한다. 나의 좌표도, 상대의 좌표도 타자의 좌표도... 나아가서는 일상의 모든 것을 좌표계로, 더 넓게 우주로 나아가서 마주치는 별들을 좌표계에 천천히 하나씩 대응시켜 본다. 이때 항등 함수 y=x를 기준으로 정확하게 서로 대칭인 두 함수가 존재하는 것을 볼 수 있다. 그 두 함수를 비교해서 살표 본다. 항등 함수를 기준으로 대칭을 이루는 좌표를 살펴보니 x와 y좌표가 서로 바뀌어 나타난다. 두 함수는 일대 일 대응을 한다. 여기서 일대 일 대응은 정의역(x값의 범위) 각각이 대응되는 함숫값들의 모임인 치역(y값의 범위)이 공역(y값 전체)의 개수와 같아야 한다.
항등 함수는 어떤 함수를 변함없게 만들어 주는 함수이다. 그것은 한결같다. 항등 함수는 중용을 잃지 않는다. 중용의 위치에서 거리는 같고 방향은 반대에 있는 두 개의 함수가 있다. 이와 같이 항등 함수를 기준으로 항상 같은 거리, 지점에 있으며 대칭을 이루고 있는 두 함수를 역함수라고 한다. 앞서 잠시 언급한 대로 역함수는 x와 y의 자리바꿈이다. 여기서 우리는 삶에서의 관계를 좀 더 냉정하게 바라볼 수 있다. 다시 말해 서로가 상대의 입장이 되어 입장 바꿔 생각하는 역지사지의 태도를 배울 수 있다.
우리의 삶보다 수학이 더 정확한 건 두 역함수의 교점을 연결하면 그것이 항등 함수가 되는 것을 확인할 수 있다. 두 함수는 항등 함수를 기준으로 정확하게 같은 거리에 있으며 대칭을 이루고 있다. 현실에서의 입장 바꿔 생각하기는 나의 입장이 우선이며 아무리 상대의 입장에서 생각을 한다 해도 한계가 있게 마련이다. 정확하게는 타인의 입장을 30%라도 이해하고자 한들 그렇게 하기는 쉽지 않다. 단지 마음이 있는 것으로 만족해야 할까?
태어나면서부터 시작되는 관계 맺기에서 우리가 잊지 말아야 할 것이 있다. 그 관계가 오랫동안 좋은 관계로 지속될 수 있는 건 역지사지의 입장에서 타자의 입장을 나의 것으로 이입해서 생각하는 태도에 있다. 자기중심이 아닌 내가 타자의 입장이라면 어떻게 했을까? 어떤 마음이었을까? 어떻게 되었을까? 등... "입장 바꿔 생각을 해봐."라는 노래 가사도 있듯 우리 생활의 기본이며 중요한 관계 맺기는 입장 바꾸기에서 시작된다. 역함수는 인간의 삶에서 기본인 관계 맺기의 시작이며 가장 중요한 역지사지의 태도를 말해주는 함수이다. 역지사지의 마음과 생각으로 우린 타인을 더 잘 이해하고 올바른 관계 맺기 또한 해 나갈 수 있다. 그것은 결국 나를 성장시켜 가는 과정의 한 부분이라 할 수 있다.
수학은 친절하고 깊다. 역지사지의 마음을 가질 수 있는 태도를 일러주는 역함수, 반듯함과 중용의 마음을 지키고 있는 항등 함수... 지금 배움을 하는 모든 분들이 두 함수의 넘치는 사랑의 마음을 이해하길 간절히 바란다.
