방정식 안에서 찾은 해와 근

수많은 '나'중에 하나, 둘... 의 페르소나일 뿐

Aug 16. 2022

우리나라 수학교육의 전 교과 과정을 살펴보면 의문이 드는 것이 많다. 수학교육 전체 과정 중 대략 1/3 이상을 차지한다는 함수 부분을 살펴보면 방정식, 부등식, 함수 순으로 되어 있던 10년간의 목차 과정을 깨고 고2 교과과정 중에 등장하는 지수, 로그 단원에서부터는 기본을 정의한 이후 함수, 방정식 부등식의 순으로 목차가 정리되어 있다. 물론 고1- 하 교과과정 목차에 있는 유리, 무리함수는 유리식 무리식을 정리한 이후 바로 함수로 연계되고 이후 방정식이나 부등식 없이 다음 단원으로 넘어간다. 특별한 이유가 있어서일까? 아님 교육과정 전체가 일본, 또는 외국에서 도입된 거라 큰 의미 없이 또는 관심 없이 그렇게 순서를 정해온 걸까? 학생들을 가르쳐온 경험으로 그건 정말 중요한 문제가 아닐 수 없다.

개념을 중요하게 생각했고 이미지를 떠올려 학습하는 연상학습을 해왔다. 중요한 것은 반드시 학생들 스스로 마인드 맵을 했다. 그와 같은 티칭 방법에는 수학 전 교육과정 중에서 함수가 무엇보다 중요하다고 생각하는 마음이 크게 자리를 하고 있었다. 함수를 학습한 학생들은 방정식과 부등식을 자연스럽게 알게 되고 스스럼없이 두 과정을 익히게 된다. 먼저 그래프를 이해하고 그것을 보면서 '해'를 확인하거나 범위를 이해한다. 하지만, 거기에서 문제점이 발생한다. 해 또는 근을 어떻게 구하지?

다항식의 전개과정이나 인수분해는 모두 방정식 또는 부등식에서 해를 구하기 위해 배우는 선수학습 과정들이다. 이차 방정식은 그 과정에서도 해를 구할 수 없으면 근의 공식이라는 것을 이용해서 x값을 구한다. 물론 근의 공식은 완전 제곱식을 이용해서 유도할 수 있다. 유도 과정을 스스로 충분히 연습하면 무조건 암기하지 않아도 근의 공식이 자연스럽게 뇌에 인식된다. 수학은 그 어떤 과목보다 연계성이 강한 과목이라 할 수 있다. 과거에 학습한 내용이나 개념이 단계를 밟아 다음으로 나가야 하는 계단식 학습을 해야 하는 학문이다. 우리는 아주 오래된 습관처럼 먼저 다항식의 전개식이나 인수분해를 통해서 기본을 잘 다지고 이후 목표는 방정식으로 부등식으로 그다음 함수에 닿는 과정을 수도 없이 반복해 왔다.

함수를 그려낼 때, 일차함수는 직선의 방정식을, 이차함수는 포물선의 방정식 형태로 그려진다. 이후 n차 다항 함수에서 평행이동이 안된 기본 식에서 n거듭제곱이 짝수(=2k) 형태일 때는 우함수, 홀수(2k+1) 형태에서는 기함수의 모습으로 그래프가 그려진다. 여기서 우함수는 y축에 대칭인 함수이며 기함수는 원점 대칭의 함수를 말한다. 실선으로 나타난 많은 점 가운데 x축과 만나는 점이 곧 '해'이며 그것은 x값을 나타낸다. 일차 함수나 다항함수의 그래프를 쫓으며 수없이 많은 위치에 서 있기도 하고 각각의 좌표도 확인할 수 있다. 그것들은 결국 나, 너, 우리 중 누군가를 좌표평면의 좌표에 옮기고 더 넓게는 공간 좌표계에 옮겨지는 각각의 자리값이다.

자리값 하나하나를 확인하면 수도 없는 다양한 나의 페르소나가 보인다. 가면을 쓰고 위장을 하고 있지만 나의 모습이다. 내가 보는 나의 페르소나, 타자의 객관적 입장처럼 보이는 주관적 시각에서의 나의 페르소나, 내가 바라보는 주관적 입장에서의 타자의 객관적 페르소나가 수도 없는 자릿값으로 하나하나씩 도출된다.

그렇게 다양한 페르소나중 때로는 하나의 모습으로 가끔은 두 개의 점으로 나타나는 그것이 나와 우리 각각을 대표하는 페르소나라고 할 수 있다. 그 점은 일차함수 또는 이차함수 그래프에서 x축과 만나는 방정식의 해와 일치한다.

방정식에서 해 또는 근으로 정의되는 그 점은 함수에서 볼 수 있는 수많은 좌표이다. 다시 말해 수없이 많은 나의 페르소나중 한 개 또는 두 개, 세 개...로 나타나는 나의 또 다른 가면, 모습일 뿐이다. 함수가 수많은 좌표의 대응관계로 연결된 거처럼 함수 그래프 위의 점들은 나와 타자의 또 다른 모습이라 할 수 있다. 어떤 모습의 페르소나든 그건 나 자신이기도 하고 타자일 수도 있다. 함수는 특정 점에서 정의하지 못하거나 함숫값을 갖지 않으면 연속된 함수라고 할 수 없다. 그러므로 함수에서는 그 점들은 하나하나 모두 소중하고 각각의 위치를 단단하게 지켜야 한다. 어느 것 하나가 더 특별하거나 아픈 것이 아니라 함께 할 때 비로소 균형된 함수 그래프가 그려진다. 다시 정리하면 함수 그래프 위의 수많은 좌표 중에서 x축과 만나는 특정한 점을 방정식의 '해'라고 한다. 그 '해'는 y좌표도 0으로 규정되는 특정 위치의 점이다. 그러므로 그것은 겉으로 드러나고 표출되며 타자에게 비치는 나의 대표적 페르소나라 할 수 있다. 단지 그것뿐이다.