『경이로운 수 이야기』

「영, 무한, 공포의 13」

이 책의 부제목은 「영, 무한, 공포의 13」이다.

수와 기호에 관한 이야기를 “1에서 10까지, 그리고 0, 11(은밀히 활동하는 수), 12(전체는 부분들의 합보다 크다), 13(공포의 수), 14(B+A+C+H), 17(가우스 수), 21(토끼와 해바라기), 23(역설적인 생일의 수), 42(모든 질문의 답), 60(최선의 수), 153(물고기의 수), 666(동물의 수), 1,001(손에 땀을 쥐게 하는 수), 1,679(외계인 탐사를 상징하는 수), 1,729(라마누잔 수), 65,537(궤짝 안의 수), 5,607,249(오팔카 수) 숫자와, 2⁶⁷-1(말없이), -1(터무니없는 수), 2/3(분할된 수), 3,125(간단하지만 천재적인), 0.000…(무의 숨결), ∛2(정육면체 배가하기), ϕ(황금분할), Π(비밀 많은 초월수), e(성장을 대표하는 수), i(수학에 허구를 도입해도 될까?), ∞(모든 것보다 더 큰)”을 소개한다.     

기원전 6세기 피타고라스주의자들은 수에 새로운 의미를 부여했다. 당시 과학에서 핵심 질문은 존재의 근본 이유에 대한 질문, 무엇이 세계를 가능하게 하고 살아 있게 하는가.라는 질문이었다. 피타고라스의 대답은 명쾌했다. 존재의 근본 기반은 ‘수’라는 것이었다. 세계의 운행 바탕에 수가 깔려 있고 세계의 구조가 수로 이루어져 있다. 수가 없으면 원리적으로 세계가 작동할 수 없다는 것이었다. 이 주장은 오늘날 컴퓨터, 우주여행, 인공지능 등 많은 과학 분야에 적용되고 있고 증명되고 있다. 그래서 수학이 중요하다. 이 책을 읽은 이유다.     

[1, 하나일 수밖에 없어] 

오랫동안 1은 수로 간주 되지 않았다. 1은 ‘단위’로 간주 되었고, 그 ‘단위’에서 모든 수가 나온다고 여겨졌다. 1은 기반의 구실을 한다 개수 세기는 1부터 시작된다. 1은 첫째 수이며, 유일한 수이다. 왜냐하면 다른 모든 수가 1로 구성 되어있다.     

[2, 차이를 만들어 내는 수]

2와 1의 관계는 하와와 아담의 관계와 같다. 화와는 그저 또 하나의 인간이 아니라 아담과 전혀 달랐다. 하와가 등장하면서 모든 것이 달라졌다. 2는 두 번째가 아니다. 2는 1보다 클 뿐 아니라, 1과 전혀 다르다. 2가 등장하면 모든 것이 달라진다. 2는 명확한 구별을 대표하는 수다. 2는 대칭을 대표하는 수다. 2는 양극의 맞섬을 대표하는 수다. 낮과 밤, 하늘과 땅, 북과 남, 동과 서, 플러스와 마이너스, 선과 악, 남과 여, 삶과 죽음. 2는 이진법의 기반이다.      

[3, 최초의 전체]

3은 내적인 조화를 갖춘 첫 번째 수다. 3은 결속, 맺음, 절정을 표현하는 최초의 수다. 3은 종결 기능을 강하게 지녔다. 삼 형제, 세 가지 소원, 세 가지 시험. 세 번째 소원, 세 번째 시험. 모든 종교에서 3은 중요한 역할을 한다. 기독교에서는 성부, 성자, 성령은 하나이며, 참된 정체성을 얻는다. 3은 가장 작은 삼각수이다.   

   

[4, 방향을 대표하는 수]

4는 방향을 대표하는 수다. 상, 하, 좌, 우, 동서남북, 사계절, 네 가지 원소(물, 불, 흙, 공기), 정사각형.     

[5, 자연을 대표하는 수]

“다섯 개의 손가락은 한 개의 주먹이다.” 독일 바이마르 공화국 독일 공산당 대표 에른스트 텔만(1886~1944)의 선동 구호다. 손가락 다섯 개는 하나의 단위를 이룬다. 대다수의 꽃잎은 5각 대칭을 이룬다. 정오각형 혹은 펜타그램은 문화사적으로 중대한 의미를 지녔다. 피타고라스주의자들은 “만물은 수”라고 확신했다.   

   

[6, 자연의 형태]

자연은 많은 육각형을 동시에 만들어 내곤 한다. 벌집의 방들처럼 정육각형들이 빈틈없이 끼워서 맞춰져 완벽하게 규칙적인 패턴을 이룬다. 이렇게 조각들을 빈틈없이 끼워서 맞추는 작업을 ‘타일링’이라고 한다. 정육각형의 꼭짓점을 보면, 각각의 꼭짓점에서 각각 다른 정육각형에 속한 변 세 개가 만난다. 그리고 그 변들이 똑같은 각 세 개를 이룬다. 그 각의 크기는 120도다. 고대 그리스 수학자들은 6을 완전수라고 했다. 완전수란 자신의 진약수(자기 자신을 제외한 약수)들의 합과 같은 수다. 1+2+3=6. 6은 어느 모로 보나 완전한 수다. 6은 이등분도 되고 삼등분도 된다. 6은 원만하며 내적으로 완벽한 조화를 갖췄다.     

[7, 존재하지 않는 수]

수 7이 현실에 존재하는가, 라는 물음은 현실에서 7은 드물며 간혹 등장하더라도 대개 미심쩍다. 7각 대칭성을 지닌 결정은 존재하지 않으며, 동등한 꽃잎 7장으로 된 식물은 단 하나, ‘기생꽃’ 뿐이다. 수 7은 실재 세계에서 극도로 드물다. 7은 사실상 등장하지 않는다고 해도 과언이 아니다. 

그러나 신화와 동화, 인간의 발명에서는 7이 놀랄 만큼 자주 등장한다. 7은 1과 자기 자신으로만 나누어떨어지므로 소수다. 소수는 가장 중요하고 흥미로운 자연수 들이다. 소수는 수의 나라에서 원자이기 때문에 중요하다. 바꿔 말해 다른 모든 자연수를 소수들을 가지고 합성할 수 있다. 7은 조화로운 6의 통일성과는 영 딴판으로 갈등이 충만한 통일성, 많은 정신적 에너지를 들여야만 유지될 수 있는 통일성이다.     

[8, 타협 없는 아름다움]

이탈리아 남부에 있는 ‘카스텔 델 몬테’ 성은 1240년 착공해서 1250년 완성되었다. 이 성을 위에서 내려다보면 폭 56미터의 정팔각형이다. 성의 높이는 25미터다. 정팔각형의 꼭짓점마다 탑이 있는데, 그 탑의 단면도 정팔각형이다. 그야말로 석조건물이 된 수학이다. 기하학적 관점에서 보면 정팔각형은 특히 매력적인 정다각형이다. 일상에서 8은 놀랄 만큼 자주 등장한다. 정팔각형은 정지 표지판이다. 다리가 8개인 거미와 문어도 있다. 

중국에서 8은 행운의 수이며, 불교에서 팔정도는 삶의 규칙 8개를 뜻한다. 8은 자연수의 계열에서 첫 번째 세제곱수다. 8=2³이다. 세제곱수 8은 제곱수 9의 바로 앞에 놓여 있다. 2³+1=3²이다. 이런 세제곱수와 제곱수의 조합은 단 하나뿐이다. 정팔면체와 정육면체는 ‘쌍대다면체’라는 용어를 사용한다. 정육면체는 꼭짓점이 8개에 면이 6개인 반면, 정팔면체는 꼭짓점이 6개에 면이 8개다.      

고대 철학자 플라톤은 딱 다섯 개의 정다면체만 존재한다는 사실에 특별히 주목했다. 그는 정다면체 5개를 고대에 거론된 원소 4개와 동일시 했다. 정사면체=불, 정육면체=흙, 정팔면체=공기, 정20면체=물. 정12면체는 짝지을 원소가 없어 우주와 동일시되었고 나중에는 정신적 원소인 ‘제5원소’와 짝 지워졌다. 정다면체는 ‘플라톤 입체’라는 이름으로도 불린다.     

[9, 따분한 수?]

9는 첫 번째 따분한 수인 듯하다. 이 수는 홀수이므로 대칭성이 없다. 또 9는 소수가 아니어서 7처럼 신비롭지도 않다. 전반적으로 볼 때 특별한 점이 없는 수인 듯하다. 그러나 수학에서 9는 중요한 조연을 한다.  

 ‘마방진’은 수1~9를 3행 3열 격자로 배열하되, 모든 행과 열과 대각선의 합이 같도록 배열한다.  각 행과 열의 합이 각 15이다. 대각선의 합도 각 15이다. 1부터 9까지 총합은 45인데 이 합이 3개 행에 고루 분배되어야 하므로 한 행의 합은 45/3=15일 수밖에 없다. 마방진을 구성하는 일은 기본적으로 가능성이 하나밖에 없다. 5는 격자의 중앙에 놓여야 하고, 짝수들은 귀퉁이에, 홀수들은 변에 놓여야 한다.   

  

9의 배수들은 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90 등이다. 10의 자리는 1씩 증가하는 반면, 1의 자릿수는 9부터 0까지 1씩 감소한다. 또한 10의 자릿수와 1의 자릿수의 합은 항상 9다.      

[0, 무無의 상징]

우리가 사용하는 0은 인도에서 2000년 전에 발명되었다. 3세기에 제작된 ‘바크샬리 필사본’에서 0은 작은점으로 등장한다. 인도 수학자 브라마굽타(598~668)는 저서 『브라마스푸타싯단타』에서 “한 수에 0을 더하거나 한 수에서 0을 빼면, 변함없이 그 수가 남는다. 한 수에 0을 곱하면, 그 수도 0으로 된다.” 

유럽에는 1202년에야 0이 도입되었다. 중세 수학자 피보나치가 저서 『계산 책』에서 “인도 숫자 아홉 개는 9,~1이다. 이 아홉 숫자와 아랍인이 ‘제피룸’이라고 부르는 숫자 0을 사용하면 모든 수를 표기할 수 있다.”라고 했다.   

  

[10, 합리성을 대표하는 수]

우리 인간이 손가락 열 개라는 사실은 우리가 수를 세는 방식과 우리의 수 개념에 지대한 영향을 미쳤다. 피타고라스주의자들은 10이 ‘완전한 수’라고 확신했다. 10은 ‘수들의 모든 본성을 아우르는 듯하기’ 때문이었다. 10을 상징하는 테트락티스tetractys는 1+2+3+4개의 점을 삼각형으로 배열한 그림이다. 십계명은 10이 확고한 단위로서 높은 지위를 누리는 데 결정적으로 기여했다. 10이 가장 뚜렷하게 활약하는 곳은 십진법, 10을 기반으로 삼고 숫자 0, 1, 2, 3…9를 사용하는 자릿값 시스템이다.     

 

십진법은 숫자들로 ‘아무리 큰 수라도 표기할 수 있다. 계산을 쉽게 할 수 있다.’라는 두 가지 장점 때문에 다른 모든 수 표기법보다 우월하다. 1793년 8월 1일 프랑스에서 길이가 100cm인 ‘공화국 측정 시스템’, 미터원기가 도입되었다.      

[11, 은밀히 활동하는 수]

프랑스 신학자 겸 수학자 블레즈 파스칼(1623~1662)는 1655년에 출판한 『산술 삼각형에 관한 논문』에서 파스칼 삼각형을 정의하고 탐구했다. 수들을 삼각형으로 배열할 것인데, 각 행에서 왼쪽 끝과 오른쪽 끝의 수는 1이고 나머지 모든 수 각각은 바로 위 왼쪽과 오른쪽에 놓인 수들의 합이다. 파스칼 삼각형은 흥미로운 속성을 지녔다. 두 가지 속성만 보면

-각 행의 수들의 합은 2의 거듭제곱, 곧 차례로 1, 2, 4, 8, 16…이다.

-한 행의 수들을 교대로 덧셈하고 뺄셈하면 최종 결과가 항상 0이다. 예를 들어 다섯째 행을 보면 1-4+6-4+1=0이다.     

파스칼 삼각형과 수 11의 연관성은 놀라우며 대단히 밀접한 관련이 있다. 파스칼 삼각형은 수 11과 그것의 거듭제곱들, 곧 11², 11³ 등을 적어놓은 것에 불과하기 때문이다. 둘째 행을 11로 읽을 수 있다. 다음 행에는 121이 있는데, 이 수는 11²과 같다. 그다음 행은 1,331이며, 1,331=11³이다. 이런 관계가 매 행에서 성립한다. 11⁴ 이 얼마인지 알고 싶다면, 둘째 수가 4인 행을 찾아라. 바로 그 행이 정답이다. 14,641이다.     

11은 ‘데칼코마니 수(한 수와 그것을 거꾸로 적은 수를 이어 붙여서 만든 수)’가 나누어떨어진다. 예를 들어, 수ℼ의 처음 숫자 다섯 개로 만든 수 31415에 그 수를 거꾸로 뒤집은 수 51413을 붙여 하나의 수로 만들면 3141551413이 된다. 이렇게 만든 열 자릿수는 11로 나누어떨어진다.     

[12, 전체는 부분들의 합보다 더 크다]

12는 낮의 12시간, 1년의 12달, 황도 12궁, 원탁의 기사 12명, 반음계의 12음 하나의 전체를 이룬 12개의 대상에서 보듯 완전수이다. 12는 왜 강한 ‘완결성’을 띨까? 결정적 이유는 12가 지닌 특별한 수학적 속성에 있다. 12는 놀랄 만큼 많은 수로 나누어떨어진다. 12는 약수가 여섯 개다. 이런 수를 ‘고합성수’라고 한다. 고합성수는 약수를 자기보다 작은 모든 수보다 더 많이 지녔다.      

[42, 모든 질문의 답]

종이를 접고 또 접어서 두께가 달까지 거리만큼 되려면 몇 번 접어야 할까? 종이를 접으면 크기는 절반으로 되고 두께는 두 배로 된다. 약 0.1mm 두께의 종이를 42번 접으면 포개진 종잇장이 개수가 2⁴² =4,398,046,511,104에 달한다. 이 종잇장 더미의 총 두께는 약 43만 9,804킬로미터, 달까지 거리 약 35만 킬로미터보다 더 두껍다.     

[153, 물고기의 수]

성경 요한복음 21장 11절에 예수가 그들을 한 번 더 호수로 나가 그물을 던지게 했다. 제자 시몬 베드로가 그물을 끌어 올렸는데, 거기에는 큰 물고기가 153마리 들어 있었다. 153은 ‘17번째 삼각수’다. 153은 1, 5, 3이다. 이 숫자들 각각의 세제곱을 보면, 1³=1, 5³=125, 3³=27이다. 이 세제곱들을 더하면, 1+125+27=153이 나온다.     

[5,607,249 오팔카의 수]

프랑스에서 태어난 폴란드 미술가 로만 오팔카(1931~2011)는 1965년 처음으로 화폭에 수들을 적었다. 먼저 왼쪽 위 귀퉁이에 1을 적고, 이어서 2, 3을 적는 식으로 계속 적었다. 구할 수 있는 가장 가는 붓으로 아주 작은 숫자들을 검은 바탕 위에 공들여 하나씩 그려 놓았다. 첫째 그림이 완성되기까지 총 7개월이 걸렸다. 「오팔카 1965/1-∞」이라는 제목을 붙였다. 이어 두 번째 화폭에 수들을 적었다. 그 화폭에 적은 첫 번째 수는 35,328이었다. 

오팔카는 1972년부터는 점점 더 화한 화폭을 사용했다. 매년 바탕색을 만들 때마다 흰색의 비율을 1%씩 늘렸다. “결국 흰색 바탕 위의 흰색 글씨를 더는 볼 수 없게 되면 내 삶이 끝날 때까지 그 상태가 지속될 것이다.” 그가 마지막으로 그려 넣은 수가 5,607,249이다.      

[2⁶⁷-1]

최근 수십 년 동안 최대 소수의 자리에 오른 수들은 모두 2ⁿ-1의 형태다. 즉, 메르센 소수들이다. 현재 알려진 최대 소수는 2018년에 발견된 수식 결과는 24,862,048개의 자리로 이루어진 수다. 새로운 최대 소수를 찾아내는 인터넷 ‘Gfreat Internet Mersenne Prime Search(GIMPS)’를 검색하면 최대 메르센 소수를 자동으로 찾아내는 프로그램을 내려받을 수 있다.     

[e, 성장을 대표하는 수]

‘리스파르미오Risparmio’는 예금자들이 꿈꾸는 나라다. 그 나라에서는 모든 은행의 예금 이자율이 100%이다. 예금해둔 1,000원이 1년 뒤에는 2,000원으로 되고, 2년 뒤에는 4,000원, 3년 뒤에는 무려 8,000원으로 된다. 

수학자는 한 달을 한계로 간주하지 않고 한 해를 원하는 만큼 잘게 나누면 어떻게 될까? 한 해를 길이가 같은 기간 n개로 나누면, 예금은 각각의 기간마다 (1+1/n)ⁿ으로 성장할 것이다. n이 커지면 (1+1/n)ⁿ이 어떤 한계도 없이 무한정 커질까? (1+1/n)ⁿ을 n번째 항으로 가진 수열은 특정한 수로 수렴하며, 오일러 이래로 그 수를 e로 표기하고 ‘오일러수’라고 부른다. e는 2.718281…이다. 한 해를 잘게 분할하는 묘수를 쓰더라도 예금 1,000원은 1년 뒤에 2,718…원보다 더 높은 금액으로는 절대로 성장하지 못한다.     

[i, 수학에 허구를 도입해도 될까?]

지롤라모 카르다노의 파란만장한 삶은 1501년에 그가 사생아롤 태어나는 것에서 시작되어 1576년 그가 스스로 계산하여 미리 알았다는 날짜와 시간에 죽는 것으로 마감되었다. 카르다노는 만능 지식인이었다. 당대 의학의 대가, 가장 중요한 수학자였다.      

“수학은 만물의 근원이다”라고 일찍이 피타고라스 학파들은 말했다. 현실적으로 수학은 세상의 중요한 것들을 만들어 내는 근본이다. 컴퓨터, 우주여행, 모든 과학과 공산품에 수학 없이 이루어질 수 있는 것은 없다. 마지막에 소개한 카르다노는 죽는 날까지 수학으로 계산했다. 모든 수학자들에게 경의를 표한다. 매력적인 학문이다.      

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책 소개     

『경이로운 수 이야기』 알브레히트 보이텔슈파허 지음. 전대호 옮김. 2022.03.18. 255쪽. 14,800원. 

     

알브레히트 보이텔슈파허 Albrecht Beutelspacher.

기센대학교 이산수학 명예교수. 세계 최초의 수학박물관 마테마티쿰을 설립, 관장. 수학 교육에 헌신한 공로로 독일과학후원협회의 커뮤니케이터상, 독일 IQ상, 헤센 문화상, 독일 물리학회 자연과학 저널리즘상 등을 받았다. 지은 책, 『생활 속 수학이 기적』, 『퍼즐로 즐거워지는 사고력 수학』 등.    

 

전대호. 서울대학교 물리학과 졸업, 같은 대학원 철학과에서 석사학위. 독일 퀼른에서 헤겔 철학 공부.

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