중학교 수학 수업, 봄(2) 소수
중학교 수학 수업 - 봄 (2)
1, 2, 3, 4, 5, ....
자연수는 초등학교 시절의 수 놀이터였지요.
중학교에 입학했으니, 초등학교 때는 눈여겨 보지 못했던,
매우 특별한 자연수를 살펴볼까요.
13 vs 15
둘 다 두 자리 자연수이고,
둘 다 홀수이고,
13은 15보다 2 작다는 것 외에는 별 다를 것이 없어 보이지요.
하지만 13은 15와는 다른 매우 특별한 자연수입니다.
왜냐고요,
15는 1×15 외에 3×5로도 표현되어지는 반면,
13은 1×13로만 표현되니까.
다른 말로 하면, 15는 3과 5라는 다른 인수들의 곱으로 표시되는 것과 달리,
13은 오로지 1과 자기자신 13의 곱으로만 표현된다는 것입니다.
한우에도 1++ 처럼, 프라임 등급이 있듯이
자연수 중에도 프라임 등급의 자연수가 있으니,
프라임 넘버, 바로 '소수' 입니다.
그리하여 15는 합성수이고,
13은, 자연수의 바탕(素)이 되는 특별한 수, ‘소수(素數, prime number)’ 입니다.
소수는, 1을 제외하고, 1과 자기 자신으로밖에 나누어 떨어지지 않는 자연수로,
2, 3, 5, 7. 11, 13, 17, 19, 23 … 등등 무수히 많이 있습니다.
중학교 1학년 학생들은 소수라고 하면, 0.7, 3.14 등과 같은 소수(小數)를 연상하지만,
중학교 첫 단원에서 배우는 소수는 ‘바탕 소(素)’자를 쓰는 소수(素數) 이지요.
마치 집을 지을 때 주춧돌 같은 개념으로,
자연수의 바탕이 된다는 것입니다.
1보다 큰 모든 자연수는,
이제 이러한 소수들의 곱으로 유일하게 표현될 수 있게 되고,
자연수를 소수들의 곱으로 유일하게 나타내는 것을, '소인수분해' 라고 합니다.
...
북한에서는 ‘소수(素數)’를 ‘씨수’라고 부른다고 합니다.
씨수, 씨앗이 되는 수,
자연수 중에서 가장 근본적인 수라는 의미로 ‘씨수’라는 표현도 좋네요.
중학생들의 눈은, 밖이 아니라 자기에게로 향해 있곤 하지요.
사람들이 모두 다 자기를 쳐다보는 것 같고,
자기 이름이 불리는지 아닌지가 가장 큰 관심사입니다.
교사로서 중학교 수업을 잘 하는 방법 하나,
수업에 집중력이 떨어진다 싶으면 학생들의 이름을 자주 부르면 된다고 선배 교사는 귀띔해 줍니다.
나와 관련된 숫자들 중에서 소수 찾기!
○○중학교 1학년 3반 7번 김서진
내 학번 1307 ⋯ 1307 소수
내가 태어난 해 2011년 ⋯ 2011 소수
내가 태어난 달 7월 ⋯ 7 소수
내가 태어난 날 13일 ⋯ 13 소수
우리집 가족은 모두 5명 ⋯ 5 소수
내 통장에 있는 돈 12,421원 ⋯ 12421 소수
서진이와 관련된 소수가 이렇게 많다니!
지금으로부터 약 2천여년 전에 이미 소수 찾는 방법을 알았습니다.
고대 그리스의 수학자 에라토스테네스(Eratosthenes, 기원전 276년 ~ 194년)가 알아낸 방법으로,
마치 체로 치듯이 수를 걸러낸다고 하여 ‘에라토스테네스의 체’라고 부릅니다.
‘에라토스테네스의 체’의 방법으로
1부터 100까지 소수를 찾아 봅니다.
1부터 100까지 수 중에서
1은 제외하고,
2의 배수 중에서 소수인 2만 체에 거르고,
4, 6, 8, 10, ... 2의 배수를 없애고,
3의 배수 중에서 소수인 3만 체에 거르고,
6, 9, 12, 15, ... 3의 배수를 없애고,
4의 배수는 이미 2의 배수이므로 모두 없어졌고,
5의 배수 중에서 소수인 5만 체에 거르고,
10, 15, 20, 25, .... 5의 배수를 없애고...
이런 식으로 하다 보면
1부터 100까지 중에서 소수는,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
총 25개뿐입니다.
‘에라토스테네스의 체’의 방법으로 소수를 찾을 때, 정답 25개를 정확히 맞추는 학생이 드뭅니다.
잘 빼먹는 소수가 있는데, 53이 그렇습니다.
그리고 소수가 아닌데 소수라고 헷갈리는 수가 57과 91 입니다.
57=3×19라서 소수가 아닙니다.
91=7×13라서 소수가 아닙니다.
1부터 100까지 소수는 모두 25개,
100부터 999까지 세 자리 소수는 모두 143개,
1000부터 9999까지 네 자리 소수는 모두 1061개,
그리하여 10000보다 작은 소수의 개수 총 1229개이고, 1229 역시 소수입니다.
1009는 네 자리 소수중 가장 작은 소수이고,
9973은 네 자리 소수 중 가장 큰 소수입니다.
4567은 연속된 4개의 숫자로 되어 있는 소수입니다.
운전하다가 앞차 번호판에 소수가 있으면, 그 날은 왠지 기분이 좋습니다.
11은 소수인데, 111, 1111, 11111은 소수가 아닙니다.
111 = 3×37,
1111=11×101,
11111 = 41×271 이거든요.
11 다음 첫 소수는, 1111111111111111111 이다. (1의 개수가 총19개, 19는 소수이다.)
11이 23개 있는 11111111111111111111111 도 소수입니다.
두 소수의 차이가 2가 되는 소수의 쌍을, '쌍둥이 소수'라고 부릅니다.
예를 들어, (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (71, 73) 등등 이지요.
쌍둥이 소수는 과연 무한히 존재할까요?
‘쌍둥이 소수는 무한히 존재한다’는 쌍둥이 소수 추측은 아직 미해결 문제입니다.
숫자가 커질수록 쌍둥이 소수는 점점 더 드물어지지만, 여전히 발견되고 있으니까요...
현재까지 알려진 가장 큰 쌍둥이 소수는,
입니다.
으악!! 소수 이제 그만!!
학생들의 아우성이 들리는 듯 합니다.