수학의 꽃, 증명 (2)

삼각형의 내각의 합은 180도이다

Feb 18. 2025

증명 문제에 들어가기 전에 우리는 몇 가지 사실들을 더 알아야 한다. 먼저 직선 위에 한 점이 있을 때, 이 점을 중심으로 뻗어나가는 한 직선과 그 반대 방향으로 뻗어나가는 한 직선이 이루는 각은 180도이다. 그림처럼 우리는 원을 이루는 회전각이 360도라고 정의하였으므로 그 반에 해당하는 것은 180도이기 때문이다.

그림. 원의 회전각과 직선의 각도

또 다른 것들은 엇각과 동위각, 그리고 맞꼭지각의 개념이다. 이들 각도는 두 직선과 각각 한 점에서 만나는 또 다른 하나의 직선이 서로 이루는 각에 대한 내용이다. 그림에서 엇각은 각 A와 각 B 사이의 관계이다. 동위각은 각 A와 각 C 사이의 관계이다. 맞꼭지각은 각 B와 각 C 사이의 관계이다. 만약 두 직선이 평행하다면, 엇각, 동위각, 맞꼭지각은 같은 각도가 된다.

그림. 엇각, 동위각, 맞꼭지각

이는 위에서 정의한 직선을 이루는 각도를 이용하여 증명할 수 있다. 각 A와 각 A’의 합은 직선이므로 180도이다. 마찬가지로 각 B와 각 B’, 각 C와 각 C’에 대해서도 동일한 논리를 적용할 수 있다. 또, 각 B와 각 C’의 합도 직선이므로 180도이다.

각 B + 각 C’ = 180도

각 C + 각 C’ = 180도

윗 식에서 아랫 식을 빼면,

각 B - 각 C = 0도

각 B = 각 C

맞꼭지각이 같다는 것을 증명하였다.

평행선에서 동위각이 같음은 유클리드의 공리에 의해 정의된다. 유클리드는 기하학의 기초를 수립한 아주 유명한 수학자이다. 그는 다섯 가지 기본 공리를 설정해 두고, 이 기본 공리에서 연역적으로 도출된 결론으로 모든 기하학 이론을 확립하였다. 그의 기본 공리에 따르면, 각 A와 각 B'의 합이 180도가 아니면, 나란한 두 직선은 평행이 아니다. 즉, 두 직선이 평행이려면 각 A와 각 B'의 합이 180도가 되어야 한다. 또, 각 B' = 180도 - 각 B 이므로,

각 A + 각 B' = 180도

각 A + (180도 - 각 B) = 180도

각 A - 각 B = 0도

각 A = 각 B

평행선에서 엇각이 같다는 것 또한 증명되었다.

그럼 이제 바로 삼각형으로 가보자. 삼각형의 내각의 합이 180도라는 것을 증명하려면 어떻게 하면 좋을까? 여러가지 방법이 있겠으나, 아주 간단한 방법 하나를 소개한다. 그림과 같이 삼각형을 그리고 한 변에 평행한 직선을 마주보는 꼭짓점을 지나도록 그어 본다. 이렇게 해 놓고 이미 알고 있는 엇각의 개념을 적용하면 아주 쉽게 내각의 합이 180도임을 증명할 수 있다. 그림을 보고 머릿속으로 증명해 보는 시간을 가져보자.