수학의 꽃, 증명 (4)

도형의 닮음

기하학에서 도형의 닮은꼴, 합동 등의 말을 많이 들어보았을 것이다. 닮은꼴 도형이란 뻥튀기를 생각하면 된다. 어렸을 적 동네에 장사하러 온 뻥튀기 아저씨는 작은 쌀알을 기계에 넣고 모양이 똑같은 큰 쌀알로 만들어 내었다. 하나의 작은 도형이 있다고 하면, 그 크기만을 그대로 뻥튀기한 것이 닮은꼴 도형이다. 이 닮은꼴 도형에는 몇 가지 수학적 법칙이 숨어있다.

그림. 닮은꼴 도형

첫째, 각 대응되는 변의 길이는 일정한 배수(Scale)를 갖는다.

돌째, 각 대응되는 각은 변하지 않는다(동일하다).

이렇게 써 놓으니까 어려운 말 같지만 그렇지 않다. 이미 우리의 경험을 통해 다 알고 있는 내용이다. 예를 들어, 사각형을 두 배로 뻥튀기한다고 했을 때, 각 변의 길이는 모두 두 배씩 늘어나지만 각도는 변함이 없다는 뜻이다. 만약 각도가 변한다면 이 것은 닮은꼴이 아니라 완전히 다른 도형이 되기 때문이다. 합동이란 닮은꼴 도형 중 배수(Scale)가 1인 도형이다. 다시 말하면, 서로 꼭 포개어지는 도형 한 쌍을 말한다. 쉽게 그냥 크기와 모양이 같은 도형을 말한다. 이러한 성질들은 더 복잡한 명제들을 증명하는 게 사용된다.

그림처럼 직각삼각형의 직각을 낀 꼭짓점에서 마주 보는 빗변에 수직인 직선을 긋는다고 가정하자. 이 때 수직선이 빗변과 만나는 점을 D라고 하자. 이 그림에서 우리는 삼각형 ABC와 삼각형 ACD, 그리고 삼각형 CBD를 정의할 수 있다. 이 삼각형들은 모두 직각삼각형이다.

그림. 직각삼각형의 닮은꼴

이들 세 개의 직각삼각형은 모두 닮은꼴이다. 삼각형에서 닮은꼴의 조건은 변의 길이와 상관 없이 세 개의 대응되는 내각이 같으면 된다. 먼저 삼각형 ABC와 삼각형 ACD에서 각 CAB는 각 DAC와 같고, 각 ACB와 각 ADC는 직각이므로 서로 같다. 삼각형에서 두 각이 같으면 나머지 하나의 각도도 같아야 한다. 그러므로, 각 ACD는 각 DCA와 같다. 따라서, 삼각형 ABC와 삼각형 ACD는 닮은꼴이다. 동일한 방법에 의해서 삼각형 ABC와 삼각형 CBD도 닮은꼴이다.

그래서 우리는 이런 결론에 도달하게 된다.

‘직각삼각형에서, 직각을 낀 꼭짓점에서 마주보는 빗변으로 수직선을 그어 만들어진 삼각형들은 모두 닮은꼴이다.’

이 사실은 앞으로 아주 중요한 증명 문제를 해결하는 데 핵심적인 역할을 하게 된다.