수학의 꽃, 증명 (3)

증명에는 여러 가지 방법이 있다

삼각형 내각의 합이 180도라는 명제를 이전 글에서 소개한 방법에 따라 증명하면 다음과 같다.

그림. 삼각형 내각의 합

(명제) 삼각형의 내각의 합은 180도이다.

(증명) 삼각형 ABC에서 변 AB에 평행하고 꼭짓점 C를 지나는 직선을 그린다.

그림처럼 a와 b를 해당 각도라고 할 때,

엇각의 성질에 의해, 각 A = a, 각 B = b 이다.

직선의 성질에 의해 a + 각 C + b = 180도이다.

따라서, 각 A + 각 C + 각 B = 180도이다.

[Q.E.D]

증명 완료 후에는 반드시 [Q.E.D]를 붙인다. 이는 라틴어의 약자로 '증명 끝' 정도에 해당하는 말이다. 수학적 증명은 남을 설득하는 가장 논리적인 방법이다. 증명의 과정은 어느 누구도 반박하거나 부정하지 못하는 논리적 전개이어야 한다. 그래서 증명은 인간의 논리적 사고력을 키워주며 감히 수학의 꽃이라고 불릴만한 것이다.

수학은 새로운 지식을 적용하는 학문이 아니다. 수학의 모든 이론과 방정식은 공리에서 출발한다. 공리에서 출발하여 논리적 단계를 거쳐 확장되는 것이 수학이다. 표현은 다를 수 있으나, 그 내용은 모두 같다. 이는 수학의 핵심인 연역적 추론이다. 거꾸로, 원인을 계속 찾아가다 보면 공리에 다다른다. A = B 이다. B = C 이다. 따라서, A = C 이다. 이 같은 소위 삼단논법도 대표적인 연역적 추론의 하나이다. 연역적 추론은 전제로부터 도출되는 결과가 모두 논리적 전개에 의하여 이루어진다. 여기에는 새로운 사실이나 주관적 판단 같은 것이 첨가되면 안 된다.

논리를 전개하는 방향은 여러 가지일 수 있다. 앞에서 소개한 증명 문제들에도 그 접근 방법과 전개 방향이 한 가지가 아니다. 하지만, 분명한 건 일련의 과정이 논리적이어야 한다는 것이다. 다음은 삼각형 내각의 합이 180도이다라는 명제를 다른 접근법으로 증명한 예이다.

그림. 삼각형의 합동 조건을 이용한 증명

(명제) 삼각형의 내각의 합은 180도이다.

(증명) 그림처럼 변 AC에 평행하고 꼭짓점 B를 지나는 직선을 긋는다.

그림처럼 변 BC에 평행하고 꼭짓점 A를 지나는 직선을 긋는다.

새로 생성된 두 직선이 만나는 점을 D라고 한다.

그러면, 대응되는 각 세 변의 길이가 같다는 삼각형의 합동 조건에 의하여, 삼각형 ABC는 삼각형 BAD와 합동이다.

또한, 삼각형이 합동이면 다음 조건을 만족한다.

b' = a,

a' = b,

d = c 이다.

그림과 같이 변 DB를 연장하는 직선에서 b' + b + d = 180도이다.

여기에, 삼각형의 합동 조건에 의한 각도 간 관계를 대입하면,

b' + b + d = a + b + c = 180도이다.

따라서, 삼각형 내각의 합인 a + b + c 는 180도이다.

[Q.E.D]

증명을 마쳤으므로 이제부터 우리는 삼각형 내각의 합이 180도라고 여기면 되고, 이 사실을 기초로 하여 다른 여러 가지 사실들을 추론해 낼 수 있다. 예를 들어, 직각삼각형에서 직각이 아닌 나머지 두 각의 합은 90도이다. 삼각형에서 하나의 각이 90도이면 나머지 두 각의 합이 90도가 되어야 전체 내각의 합이 180도가 되기 때문에 이러한 사실을 유추해 낼 수 있는 것이다. 또, 삼각형의 세 각 중 두 각이 각각 30도와 50도이면, 나머지 각도는 얼마인 지 계산할 수 있다.

180도 - (30도 + 50도) = 180도 - 80도 = 100도

우리는 증명을 통해 확인된 사실을 토대로 또 다른 사실들을 증명할 수 있고, 수학은 이렇게 점진적으로 확장되고 발전한다.