수학의 꽃, 증명 (5)

피타고라스 정리의 증명

이제 아주 재미있는 증명을 하나 소개하고자 한다. 피타고라스의 정리의 증명이다. 피타고라스 정리는 너무나 유명하여 다들 알고 있을 것이다. 직각삼각형에서 빗변 길이의 제곱은 나머지 두 변의 길이를 각각 제곱하여 더한 값과 같다. 이 정리는 너무도 유명하고 그 쓰임새도 셀 수 없을 만큼 많다. 그런데, 왜 그런지 궁금하지 않은가? 왜 빗변의 길이 제곱은 나머지 두 변을 각각 제곱하여 더한 값과 같을까?

처음으로 이 관계를 찾아낸 피타고라스는 소위 말하는 천재의 범주에 들어간다. 그러나, 그 관계를 증명하는 것은 천재가 아니더라도 얼마든지 할 수 있다. 도형에 대한 정확한 정의(definition) 습득과 여러 방법을 시도해 보는 끈기만 있으면 된다. 여러 방법을 시도해 보다가 그럴듯한 아이디어를 찾아낼 수 있으면 된다.

피타고라스 정리를 증명하기 전에 한 가지 더 알아야 할 사실이 있다. 바로 닮은꼴 도형에서의 비례식이다. 서로 크기가 다른 닮은꼴 도형에서 각 변과 변 사이의 관계를 이끌어 낼 수 있다. 작은 닮은꼴 도형에서 세 변의 길이의 비는 큰 닮은꼴 도형에서 세 변의 길이의 비와 같다는 것이다. 임의의 두 변의 길이 비도 그에 대응하는 닮은꼴 도형의 두 변의 길이의 비와 같다. 또, 비례식에서 내항의 곱은 외항의 곱과 같다.

a : b = c : d 라고 할 때,

b x c = a x d 의 관계가 성립한다.

그림. 직각삼각형에서의 비례식

이제 준비가 끝났다. 그러면 어디서부터 출발을 해야 할까? 일단 직각삼각형을 그리는 것에서 출발하면 된다. 그림과 같이 직각삼각형을 그려놓고 각 변의 관계를 생각해 본다. 각 변을 제곱한다는 말은 그 변을 가지는 정사각형의 면적이라는 말과 같다. 그러면 그림에서 아래의 제일 큰 정사각형의 면적은 위 두 개의 정사각형 면적의 합과 같다.

그림. 피타고라스의 정리를 도형으로 나타내면

힌트는 비례식이다. 주어진 변의 길이들에 대하여 비례식을 잘 세우면 피타고라스의 정리를 증명할 수 있다. 증명에 필요한 변의 길이를 문자로 추가 지정하는 과정도 필요할 것이다. 이 것도 독자들의 몫으로 잠시 놓아두는 게 좋을 것 같다. 여러분도 그 유명한 피타고라스의 정리를 증명하는 성취감을 맛보기 바란다.

(이 방법을 사용한 증명은 다음 글에서 공개하겠습니다)