수학의 꽃, 증명 (6)

피타고라스 정리의 증명

이전 글에서 소개한 방법으로 피타고라스의 정리를 증명하면 다음과 같다.

그림. 피타고라스 정리의 증명

(명제) 직각삼각형에서 빗변 길이의 제곱은 나머지 두 변을 각각 제곱하여 더한 값과 같다. 즉, 그림에서 c ² = a ² + b ² 이다.

(증명) 그림의 사각형 면적 c^2은 S1과 S2의 합으로 나타낼 수 있으며, 그림과 같이 e와 f라는 문자를 도입하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

c² = e c + f c. ———- (1)

이제, 삼각형의 닮은꼴 관계에서 다음 비례식이 성립한다.

c : a = a : f

c : b = b : e

각 비례식에서 내항의 곱은 외항의 곱과 같으므로,

a ² = f c

b ² = e c

이 관계를 식(1)에 대입하면,

c ² = a ² + b ²

[Q.E.D]

도형의 닮은꼴에서 비례식만 잘 세우면 피타고라스의 정리를 어렵지 않게 증명할 수 있다.

피타고라스의 정리는 다른 방법으로도 증명이 가능하다.

그림. 피타고라스 정리의 다른 증명 방법

(명제 ) 직각삼각형에서 빗변 길이의 제곱은 나머지 두 변을 각각 제곱하여 더한 값과 같다. 즉, 그림에서 c ² = a ² + b ² 이다.

(증명) 위 그림에서 전체 정사각형의 넓이는 (a + b) ² 이다. 또한, 가운데 작은 정사각형의 넓이는 c ² 이다.

가운데 작은 정사각형의 넓이는 전체 정사각형에서 넓이 (S1 + S2 + S3 + S4)를 뺀 값이다.

c ² = (a + b)^2 - (S1 + S2 + S3 + S4)

그런데, 삼각형의 넓이 S1 = S2 = S3 = S4 = 1/2 a b 이다.

따라서, c ² = (a + b) ² - (1/2 a b + 1/2 a b + 1/2 a b + 1/2 a b)

= (a + b) ² - 2 a b

= a ² + 2 a b + b ² - 2 a b

= a ² + b ²

[Q.E.D]

두 번째 증명 방법에는 다항식의 전개 등 비교적 어려운 공식이 쓰이므로, 이해할 수 있는 사람만 이해하면 된다. 중요한 건 하나의 명제를 증명하는 데 방법이 한 가지가 아니라는 사실이다. 그럼에도 혼자서 고민해 보지 않고 참고서에 적혀있는 모법답안만을 외우는 것이 얼마나 재미없는 일인가.