[수학논문리뷰] 수학도 사람이 먼저다

평균 단원 학습이 초등 5학년 학생의 대푯값에 대한 지식에 미치는 영향

평균 단원 학습이 초등학교 5학년 학생의 대푯값에 대한 지식에 미치는 영향-문은혜, 이광호

대푯값이 무엇일까?

 

대표는 무엇일까?

 사전을 찾아보면 위와 같다. 

 

전체가 있고 그것을 하나로 간단하게 나타내는 것이다. 아무렇게 나가 아니라 잘 나타내야 한다. 그렇다면 잘 나타내는 방법에는 무엇이 있을까? 

 

우리나라의 대표 음식은? 사람들이 많이 먹는 음식일 수도 있고, 옛날부터 먹는 음식일 수도 있다. 또는 다른 나라와는 다른 우리나라만이 가지고 있는 음식일 수도 있다. 

 

그렇다면 대푯값은 무엇인가?

위와 같다. 자료 전체의 특징을 대표적으로 나타내는 값이다. 대표의 뜻과 비슷하다 

 

전체가 있고, 그것을 대표해서 하나로 나타내어야 한다. 단, 여기서는 값으로 나타낸다. 

 

위의 예시에서 우리나라 전통음식으로 우리나라 사람들이 많이 먹는 음식을 선택한다면 최빈값을 대푯값으로 선택한 경우이다. 

 

생활 속에서 대푯값을 활용하는 예는 최빈값이 많다. 평균과 중앙값은 숫자로 되어 있는 자료에서만 사용가능하지만, 최빈값은 숫자가 아닌 자료에서도 적용될 수 있기 때문이다. 흔히 사용하는 다수결로 대표를 뽑거나 선택하는 것도 최빈값의 하나라고 할 수 있다. 

 

그리고 “나의 키는 우리 반에서 중간이다.”와 같이 중앙값도 가끔 생활 속에서 사용한다. 그러나 평균을 사용하는 경우는 드물다. 중앙값은 계산이 필요 없기 때문이다. 평균은 약간의 계산이 필요하다. 

 

매우 많은 자료에서 연구하는 사람들이 즐겨 사용하기는 것이 평균이기는 하지만, 생활 속에서 많이 이용하지는 않는다는 것이다. 그러나 이 논문에서 밝히는 것은 5학년때 평균을 배운 이후부터는 대푯값으로 평균을 대부분 이용한다고 한다. 

 

아마도 안타깝게도 우리나라는 초등학교 5학년때 대푯값으로서 평균만을 배우는 것도 이유가 아닐까 한다. 

 

우리나라 교육이 조금씩 좋아지고는 있으나 대푯값으로서 평균을 학습할 때, 평균이 자료를 대표하면서 어떤 의미를 가지는지에 관심을 두기보다는, 어떻게 구할 수 있는지에 중점을 두기 때문이기도 하다. 

 

이 논문에서 아쉬운 점은 결론을 미리 생각하고 해석을 하고 있는 것은 아닌가 하는 점이다. 

다음의 물음에 대답해 보자

 

마트에서 파는 1000원짜리 사탕 한 봉지에 보통 20개의 사탕이 들어 있다. 내가 지금 마트에서 구입한 1000원짜리 사탕에는 몇 개의 사탕이 들어 있을까?

 

나는 20개라고 대답할 것이다. 7 봉지를 샀다면 모두 20개 들어 있다고 대답할 것이다. 19개가 들어 있다면 불량으로 신고할지도 모른다. 운 좋게 21개가 들어 있을지도 모르지만 이것은 매우 드문 확률이다.  

  

그러나 이 논문에서는 나와 같은 판단을 하는 사람을 통계적 변이성에 대한 개념이 부족하다고 평가를 내린다. 또한 통계적 소양 수준이 높은 사람의 반응은 다음과 같다고 평가한다.

 

공장에서 만든 사탕이지만 봉지당 1~2개씩 차이가 있을 수 있다. 

 

요즘 사탕 봉지에는 다음과 같이 수량이 적혀 있다. 더 적은 수가 담겨 있다면 당연히 불량이다. 또한 1개 적게 담긴 불량이 간혹 있을 수 있지만 그 확률은 매우 드물 것이다. 

우리는 1% 이하의 불량을 생각하며 통계를 활용하는 수준을 바라지는 않는다. (물론 매우 뛰어난 수학자라면 그 또한 생각하겠지만.)

 

우리는 위와 같은 사탕을 사면서 안에 27~31개의 사탕이 있다고 기대하지 않는다. 이는 학생들의 통계적 변이성을 확인하기 위한 잘못된 설문이거나, 결론을 미리 결정하고 내리는 해석에 불과하다. 

 

변이성을 예상한 학생은 어쩌면 출제자의 의도를 파악하고 대답한 건지도 모른다. 아니라면 실제 사탕을 매우 많이 구매하고 검증을 해 보기를 바란다. 나는 20개 들이 사탕 7 봉지를 사면 모두 20개 들어 있다에 배팅을 하고 싶다. 100개 중 1개 정도에 더 적은 사탕이 들어 있기도 힘들어 보인다. 

 

이외에도 해석을 함에 있어서 허점이 보이기는 하지만 결론에는 공감한다.

 

내가 공감하는 결론은 다음과 같다.

1. 학교에서 평균을 도입할 때 통계자료를 해석하고 요약하는 도구로서의 평균의 개념 강조해야 하는 것

2. 대푯값 중 하나의 개념으로 평균을 도입

3. 최빈값과 중앙값의 개념과 함께 평균을 도입하는 것

 

우리는 학교 수학을 배울 때 계산 공식(알고리즘)에 집중할 때가 많다. 수학을 배우는 것이 아니라 문제 푸는 것을 배우기 때문이다.

 

수학도 결국 사람(맥락)이 먼저다.