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by kmksp Jul 24. 2018

학원 안 가고, 고등 수학 공부 하기

By 해춘봉

4월쯤 고1 학생이 나를 찾아왔다.

수학 학원을 다니고 있는데 수학 성적이 4등급 5등급이라는 것이다.

"수학 학원에 다녀도 성적에 큰 도움이 되지 않는 것 같아요"

나는 이 학생이 혼자서 수학 공부를 할 수 있도록 커리큘럼을 짜 주었고,

이 학생은 최선을 다 해서 공부했다.

마침내 이 학생은 내신도 아닌 전국구 고3 모의고사에서 수학 1등급을 받았다.

희망이다!

중3 겨울방학부터
고 1 첫 중간고사까지의 공

중3 겨울방학부터
중 3 학생 3명을 그룹으로 공통 커리큘럼을 짜서 공부하고, 서로의 공부 에피소드를 공유한 수업을 진행 적이 있었다.

이 3명은 평균 80점대 성적인 경재, 반에서 1등인 소민, 평균 성적 80점대 시언이다.

이 친구들은 서울대학교를 한번 가보더니 서울대가 이들의 공부 목표가 되었다. 이 친구들이 서울대 가겠다는 야심은 중3 겨울방학에 아주 큰 도움이 되었다. 정말 열심히 공부했다.

경재와 소민이는 첫 고1 중간고사에서 전교 8등, 전교 2 등을 했고, 시언이는 3등급 정도에 머물렀다.

그리고 수학 성적은 경재와 소민이는 1등과 2등급을 받았고, 시언이는 3등급을 받았다. 이들이 같은 커리큘럼으로 공부를 했는데 왜 이렇게 성과가 다른지는 다른 글에서 이야기하고자 한다.

그러나 이 3명 중에서 2명은 겨울방학 동안부터 첫 중간고사 때까지 혼자 학원 없이 공부해서 얻은 소득이 굉장하다. 혼자 공부했다. 매주 내가 커리큘럼을 짜 주었고 일주일간 공부한 경험에 대해서 이야기를 나누고 잘못된 점을 수정해주었을 뿐 공부는 학생들 스스로가 해 낸 것이다.

희망이다!

효진이는 이미 중3 때 전교 1등이었다. 중 3 겨울방학에 수학을 혼자서 공부했다. 고등학교 첫 중간고사에서 전과목 몇 개 안 틀리고 전교 1등 했다. 중간고사 수학 성적은 1등급이다.

희망이다!

위 학생들이 혼자서 공부했던 수학 공부법을 소개하려고 한다.

건강, 사회성, 개인 성격, 재정상의 이유 등으로 학원에 다니기 힘든 학생들이 가끔 있다. 나는 이 친구들에게 혼자서 공부해도 꿈을 이룰 수 있다고 희망을 주고 싶다.

선행이 안된 수학 88~100점 중상위권 학생을 타겟팅한다. 수학 88점 과 수학 100점 사이의 실력 차이는 존재하지만, 이들이 할 수 있는 공부 방법은 크게 다르지 않다. 수학 공부를 하는 과정에서 공부를 하는 태도(사고력, 꼼꼼함, 집요함)는 다르지만, 이들이 하는 공부의 큰 틀은 다르지 않다. 이론을 이해하고 이해한 이론을 바탕으로 문제를 풀어 나가는 것이다.

그러나 문제 해결력의 경우, 개인차가 매우 크다. 문제 해결력이 없는 학생의 경우는 사고력이 약하고 생각하는 힘이 부족하다. 이 경우 사고력 학원을 다니는 것이 해결책이 아니다. 현재 수학 과정을 하면서 스스로 사고력을 기르려고 노력해야 한다. 늘 왜? 인과 관계를 찾으려고 노력해야 한다. "이런 건 이렇게 푸는 거야" 식으로, 즉 문제 유형별로 풀잇법을 암기하는 방식의 공부를 하는 학생들이 있다. 이런 학생들은 고등수학을 잘 하기 힘들다. 중학교 때 수학 성적이 안 좋았어도 모든 것을 왜? 왜? 그럴까?하고 의문을 품고 공부하는 학생들은 고등 수학을 잘 한다. 암기력 좋은 아이들이 가끔 풀이 과정 암기로 수학 문제를 해결하려고 한다.

수학 공부할 때는 모든 것에 왜? 이렇지? 하고 의문을 품어야 한다. 풀이과정을 외워서 해결하려고 하면 수학 실력은 늘지 않는다.

다음은 수학이 쉽지 않은 평범한 상위권 학생에게 사용하는 예비 고1 커리큘럼이다.

이론서(ex: 수학의 바이블) 책을 여러 번 읽고, 이론을 철저하게 이해하고 암기한 후에, 기본 문제집(ex: 개념원리)로 들어간다. 기본 문제집을 푸는 도중에도 이론서를 꾸준히 다시 읽어야 한다. 기본 문제집은 한 번으로 안 된다. 필수 예제만 따로 3-5번을 돌린다. 기본 문제집은 전체적으로 3-5번을 풀어야 한다. 이해해서 적용할 줄 아는 능력과 시험 때 실수하지 않도록 하는 능력을 같이 길러야 하므로 문제집은 3~5번을 푼다. 방법은 전체 다 돌려 풀기도 좋고, 실력이 좋으면 필수 예제와 오답만 돌려 풀 수도 있고, 연습문제만 돌려 풀 수도 있고, 자신의 직관으로 결정한다. 디테일한 방법은 상황에 맞게 결정한다.

기본서에서 틀리는 문제가 없도록 무한 연습하면서, 문제 유형 문제집과 모의고사 기출문제를 풀면서 수준 높은 문제도 같이 경험한다. 이 경우는 돌려 풀기엔 시간이 부족하므로 틀린 문제만 돌려 풀거나 전체를 1~2번 돌려 푸는 것도 좋다. 물론 주어진 시간에 따라서 결정할 문제이다.

모의고사 기출문제집은 전체를 여러 번 돌려 푸는 것이 가장 좋다. 이 경우 3번 돌려 풀면 실력이 확 느는 것을 본인이 느낀다. 3번 돌려 푼 이후에는 오답만 공부하면 시간을 관리할 수 있다. 수학은 방학 중에 이론서와 기본 문제집이 완벽하게 끝나야 한다. 방학 전에 기본 문제와 중간 난이도 문제는 틀리지 않을 정도의 실력이 되어야 하고, 나머지 실력은 학교 다니면서 보강한다. 수학은 중간고사 시험 보기 2주 전까지 완성되어야 한다. 이 공부를 해 내려면 하루 종일 공부해야 한다. 큰 노력이 필요한 공부이다. 절대 쉬운 방법은 아니다. 하지만 결과는 달다.

무조건 어려운 문제집으로 공부한다고 결과가 잘 나오는 것은 아니다.

수학적 사고력이 뛰어난 경우는 블랙라벨을 잘 풀기도 하며 공부하는 시간을 얼마 투자하지 않아도 수학 시험을 잘 보는 아이도 있었다. 이 경우는 공부의 순서를 위에서 제안하는 대로 하되 돌려 푸는 방식 말고 오답만 공부하면 된다. 이런 학생들은 익숙함의 과정에 투자하는 시간이 단축된다. 하지만 평범한 학생들은 기초를 이해하는 데에도 엄청난 시간이 필요하고 기초를 응용하는 능력이 없어서 기초를 응용하는 연습을 수없이 반복해야 한다. 이런 평범한 학생들도 100점을 맞을 수 있다. 포기하지 않고 열심히 하는 평범한 학생이 수학적으로 탁월하지만 게으른 학생보다 시험 성적은 더 좋다. ‘나는 수학적으로 뛰어나지 않으니 열심히 꼼꼼하게 완벽하게 공부해내야 한다’고 생각하는 학생이 훨씬 좋은 결과를 만든다. ‘나는 수학 천재가 아니다’라고 생각하는 독한 학생이 시험 결과는 더 좋을 수 있다.