brunch

매거진 그냥 수학 문제가 풀고 싶어서

라이킷 2 댓글

You can make anything
by writing

C.S.Lewis

계정을 잊어버리셨나요?

by 박종하 Nov 29. 2018

6. [대수학] 수학 마술

재미있게 활용할 수 있는 수학 마술

# 3자리 숫자 맞추기

3자리 숫자를 생각해보세요. 가령, 123을 생각해볼까요? 이것을 다음과 같이 연속으로 써서 6자리 숫자를 만들어보세요. 123123 이제 이것을 차례로 7, 11, 13으로 나눠보세요. 그럼, 처음의 3자리 숫자 123으로 되돌아옵니다.

이것은 모든 3자리 숫자에 적용됩니다. 아무 숫자나 생각해보세요. 가령, 437을 생각해볼까요? 437을 두 번 연속으로 써서 437437과 같은 6자리 숫자를 만들고, 이것을 7, 11, 13으로 나눠보는 겁니다. 그럼, 우리는 처음 시작한 437을 다시 얻습니다.

이것을 마술처럼 연출할 수도 있습니다. 사회자가 한 사람을 지정하여 그 사람이 생각한 숫자를 맞추는 거죠. 마음속에 3자리 숫자를 생각하게 하고, 그것을 연속으로 두 번 써서 6자리 숫자를 만들어 옆 사람에게 건 냅니다. 그리고, 7로 나누라 하고 결과를 다시 옆 사람에게 전달하게 합니다. 또 11을 나눠서 결과를 옆 사람에게 전달하게 하고, 13을 나눈 결과를 사회사에게 가져오게 하는 겁니다. 그럼, 사회자는 그 숫자를 보고 지정한 사람이 생각한 숫자를 맞추는 거죠.

왜 이런 결과가 나오는 것일까요?

이유는 7 ×11 ×13=1001이기 때문입니다. 3자리 숫자 ABC을 반복해서 써서 6자리 숫자 ABCABC을 만드는 것은 수학적으로는 ABC에 1001을 곱하는 것입니다. 실제로 ABC X 1001을 계산해보세요. ABC X 1001 = ABCABC입니다. 그래서, ABCABC을 7, 11, 13으로 나누는 것은 ABC X 1001을 7, 11, 13으로 나누는 것과 같은 것입니다. 7 ×11 ×13=1001이라 했으므로 계산의 결과는 처음 시작한 ABC가 되는 것이죠.

# 운명 맞추기

이번에는 자신의 생년월일로 미래를 알아보는 운명의 마술을 소개해드리겠습니다. 방법은 간단합니다. 다음과 같이 해보시죠.

① 종이에 자신의 생년월일의 8개 숫자를 적으세요.

가령, 세종대왕의 탄생일은 1397년 5월 15일입니다. 세종대왕의 경우에는 8개의 숫자가 13970515입니다.

② 적은 8개의 숫자들로 만들 수 있는 가장 큰 수를 만드세요

13970515로 만들어지는 가장 큰 수는 97553110입니다

③ 이제 2번의 숫자에서 1번의 숫자를 빼세요

97553110 – 13970515 = 83582595

④ 계산해서 나온 숫자를 모두 더하세요. 10보다 큰 수가 나오면 각 자리를 또 더하여 한 자리의 수가 나올 때까지 더하세요.

83582595 = 8 + 3 + 5 + 8 + 2 + 5 + 9 + 5 = 45, 4 + 5 = 9

⑤ 최종 숫자가 9가 나오는 사람은 위대한 인물이 된다고 합니다. 여러분의 숫자는 무엇인가요?

눈치를 체셨겠지만, 중간에 계산이 틀리지 않았다면 이렇게 계산하면 항상 9가 나옵니다. 여기에서 질문을 할 수 있겠네요. 왜, 이렇게 하면 항상 9가 나올까요?

이 마술의 비밀은 231과 321처럼 “자릿수의 순서를 바꾸어 만들 수 있는 두 수의 차는 항상 9의 배수가 된다”는 것입니다. 그래서, 생년월일로 만든 가장 큰 8자리 수와 생년월일의 수는 자릿수의 순서를 바꾸어 만든 수 이기 때문에 이들의 차는 항상 9의 배수가 되는 겁니다. 9의 배수는 각 자릿수를 모두 더 하면 항상 9의 배수가 되기 때문에 위 질문의 결과는 항상 9가 되는 거죠.

먼저 자릿수의 순서를 바꾸어 만들어지는 두 수의 차는 왜 항상 9의 배수가 되는 걸까요? 간단하게 abc와 bca의 차를 생각해보겠습니다. bca - abc는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

bca = b X 100 + c X 10 + a = b X 99 + c X 9 + b + c + a

abc = a X 100 + b X 10 + c = a X 99 + b X 9 + a + b + c

따라서 bca – abc = (b-a) X 99 + (c-b) X 9와 같이 써지며 9의 배수가 됩니다. 같은 방법으로 8자리 숫자를 써서 자릿수의 순서를 바꾸어 만들어지는 두 수의 차는 항상 9의 배수가 되는 것입니다. 또한 abc가 9의 배수라면 abc = a X 100 + b X 10 + c = a X 99 + b X 9 + a + b +c 이므로 a + b + c는 9의 배수가 되는 것이죠. 같은 방법으로 8자리 숫자도 만약 그 수가 9의 배수라면 그 수의 각 자릿수의 합은 9의 배수가 되는 것입니다.

# 1089

숫자 1089의 마술을 하나 더 소개합니다. 일단 세 자리 숫자를 선택해보시죠. 가령, 123을 생각해볼까요? 이 숫자의 순서를 거꾸로 뒤집으세요. 123을 거꾸로 하면 321입니다. 큰 수에서 작은 수를 빼보시죠. 321 – 123 = 198. 또 이 숫자를 거꾸로 해서 이번에는 두 숫자를 더해보세요. 198을 거꾸로 하면 891이고, 198 + 891 = 1089입니다. 지금의 과정은 세 자리 수로 어떤 수를 선택해도 모두 1089라는 같은 결론을 얻습니다. 왜 그럴까요?

1089는 특별한 수입니다. 문제에서 제시한 방법을 진행하면 어떤 세 자리 수로 출발하여도 모두 결론은 1089입니다. 예를 들면, 다음과 같다는 거죠. 732로 시작해볼까요?

단, 앞뒤가 같은 숫자를 선택하면 안 됩니다. 가령, 232와 같은 숫자를 선택하여 거꾸로 해도 같은 수가 나옴으로 첫 번째 단계에서 0이 나오니까요. 그리고, 546을 선택했다고 해보시죠. 그럼, 문제에서 제시한 프로세스는 다음과 같습니다.

결론이 1089가 아니죠. 그런데, 여기에서는 약간 다르게 생각할 수 있습니다. 우리가 대상으로 삼는 것이 모두 세 자릿수이기 때문에 99를 099로 생각하는 것이 필요합니다. 그렇게 하면, 우리는 1089라는 같은 결론을 얻습니다.

이제 왜 1089라는 결론이 나오는지에 대하여 생각해볼까요? 먼저 3자리 수를 abc라고 써보면, 이것을 거꾸로 한 수는 cba입니다. 여기에서 a는 100의 자리를 b는 10의 자리를 그리고 c는 1의 자리인데요, 이것을 이렇게 표현해보겠습니다.

이제 abc – cba을 이렇게 생각할 수 있습니다.

약간의 트릭을 쓴 것인데, 100의 자리에서 100을 때어서 10의 자리에 90을 주고 1의 자리에 10을 주는 것입니다. 이렇게 표시하고 위에서 아래를 빼면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

이제 이 숫자를 거꾸로 해서 더해보겠습니다.

즉, 900 + 180 + 9 = 1089라는 결론을 얻는 것입니다. 약간 독특한 증명 방법인 것 같습니다. 우리가 항상 쓰는 데로 숫자를 자릿수에 맞춰서 표현하는 것만이 아닌, 다양한 표현 방법이 있을 수 있고, 그것이 때로는 더 효과적으로 생각할 수 있게 한다는 것을 보여주는 것 같습니다.

1089에 1에서 9까지 숫자를 곱하는 것도 하나의 특별한 패턴을 갖는다고 합니다. 1에서 9까지 숫자를 1089에 곱하면 다음과 같은데요,