brunch

매거진 수학 공부를 포기하지 않게

라이킷 6 댓글

You can make anything
by writing

C.S.Lewis

계정을 잊어버리셨나요?

by 동현 Dec 08. 2022

수학 공부 잘하는 법2- 성공 경험 쌓기(2)

교과서 뽀개기- 개념, 예제, 문제

학교 수학 공부는 개념 학습 + 문제 풀이가 전부야. 잠깐 교과서를 가지고 와서 한 번 펼쳐 볼래? 같이 교과서의 흐름을 살펴보자. 단원별 흐름을 보면 먼저 ‘개념’에 관해서 설명되어 있을 거야. 그다음에는 ‘예제’가 나와있을텐데 특이하게 풀이 과정이 상세하게 적혀있어. 그리고 답이 적혀 있지 않은 ‘문제’가 주어져 있을 거야.

교과서의 단원 구조는

개념 -> 예제 -> 문제

좀 더 자세히 살펴보자.

<개념>

개념은 단원의 핵심 내용이야. 이 단원에서 가르치고자 하는 것을 개념으로 만들어 놓은 거지. 우리 몸의 척추에 해당하는 게 바로 수학의 개념이야. 그렇기 때문에 개념에 대한 충분한 이해가 필요하고, 반복해서 봄으로써 개념을 암기하는 것이 중요해. 어떤 개념이 나왔을 때 머릿속에서 바로 떠오르도록. 교과서와 문제집의 문제는 사실 개념에 대해서 제대로 이해하고 있는지, 개념을 잘 활용할 수 있는지를 테스트하는 것이야. 개념을 제대로 알고 있어야, 그리고 어떻게 적용하는지에 대한 방법을 알고 있거나 생각해 낼 수 있어야 문제를 해결할 수 있어.

선생님, 저도 개념이 중요한지는 알아요~ 그런데 무슨 말인지 이해가 안 되는데 어떻게 해요!!

이런 말이 나오겠지?^^ 개념의 중요성을 아는 것과 그 개념을 제대로 이해하고 있는가는 완전 다른 문제니깐. 선생님도 이해해^^

개념 이해가 안 될 때의 꿀팁을 줄게.

1) 반복해서 여러 번 읽는다.

처음 읽어볼 때는 이해가 안 될 수밖에. 새로운 개념은 우리 뇌에서 받아들이기 힘들다고 했던 거 기억나니? 받아들일 준비를 한 후 다시 보면 잘 받아들일 수 있어. 지금 당장은 이해가 안 된다고 하더라도 한두 번 읽고 넘어간 후, 하루 이틀 후에 다시 개념을 읽어보면 색다른 느낌이 들 거야. 뇌에서 받아들일 준비가 되었거든^^

2) 개념을 읽고, 예제와 문제를 풀어본 후 다시 개념을 읽어본다.

예제의 풀이를 읽어보거나 문제를 풀어보면 개념이 어떻게 적용되는지 완벽하지는 않더라도 조금은 알 수가 있어. 이게 형성된 상태에서 개념을 다시 보면 훨씬 이해가 잘 갈 거야.

3) 여러 방향에서 접근한다.(강추!)

개념에 대한 이해가 어려울 때, 제일 유용하고 확실한 방법. 예를 들면, 교과서의 개념 설명을 읽어서 한 번 접하고, 선생님의 개념 설명을 듣고 또 한 번, 그래도 이해 안 되면 EBS와 같은 인터넷 강의를 통해 다시 확인, 유튜브에서 그 개념을 검색한 후 설명을 들어봄으로써 마무리. 아니면 친한 친구에게 직접 물어보는 방법도 있을 테고. 이렇게 다양한 관점에서 개념 설명을 들으면 훨씬 이해가 잘 될 거야. 개념 이해가 도저히 안된다 하면 꼭 이 방법을 시도해 보길 바라. 효과 만점일 거야.

<예제>

예제는 정~말 중요한데 안타깝게도 많은 학생이 예제의 중요성을 못 느껴. 사실 선생님도 학생 때는 예제를 패스하고 바로 문제를 풀었어. 예제가 나오면 풀이 과정과 답을 가린 후 내가 직접 풀어보고 답이 맞으면 바로 넘어갔지. 예제를 활용할 줄 몰랐어. 그럼 교과서에서 예제의 의미와 역할을 살펴보자. 그래야 예제의 중요성을 잘 알 수 있을 거야. 수학책이 준비되어 있다면 같이 보면서 읽으면 더 도움이 될 거야.

1) 문제를 해결할 때 개념을 어떻게 활용해야 하는지 설명

처음 배운 개념을 활용해 문제를 바로 해결하기는 어려워. 따라서 친절하게도 예제가 제공되지. 문제를 해결할 때 개념을 어떻게 적용해야 하는지, 어떤 순서로 접근해서 문제를 해결해야 하는지 자세히 설명해줘. 예제를 볼 때는 이 부분에 초점을 맞추길 바라. 학습한 개념을 중심으로 문제 풀이 과정을 이해하고, 이해됐으면 풀이 과정을 암기까지 하면 더 좋아. 같은 유형의 문제를 반복해 풀면서 적용하면 자연스럽게 암기될 거야.

2) 문제의 대표 유형

개념을 적용해서 해결할 수 있는 문제는 무한히 만들어 낼 수 있지만 이 문제들을 몇 가지의 유형으로 분류할 수 있어. 유형별 해결 방법만 알 수 있다면 수많은 문제도 쉽게 해결할 수 있겠지? 그래서 유형별로 문제를 해결해 보는 게 중요해.

교과서의 예제는 각 유형을 대표하는 문제야. 그래서 교과서에서는 예제가 먼저 나온 후 같은 유형의 문제들을 스스로 풀 수 있게 제공되지. 같은 유형이기 때문에 예제의 풀이 과정을 그대로 적용하면 돼. 나중에 시험을 위해 전체 내용을 정리할 때도 예제를 중심으로 정리하면 좋아. 예제의 지문만 읽고, 풀이 과정을 머릿속으로 떠올리거나 직접 써봄으로써 그 유형을 잘 해결할 수 있는지 체크하면 돼. 그럼 빠르게 복습이 되겠지? 풀이가 잘 안되는 경우 어느 부분에서 문제가 있는지 확인하고, 개념을 다시 찾아보며, 풀이 과정이 자연스러워지도록 머릿속에 넣으면 돼.

3) 서술형 문제의 답안 작성 모범 답안

학생이 가장 많이 질문하는 것이 뭔지 아니? 2위는 서술형 답안을 어떻게 작성하는지에 관한 것. 그럼 1위는? 수학을 왜 공부해야 하는지ㅎㅎ

서술형 답안 점수를 확인할 때마다 학생과 교사의 관점 차이를 느끼게 돼. 점수 확인하러 올 때, 본인이 생각한 예상 점수에 훨씬 못 미치는 결과를 보고 충격받는 경우가 많지. 서술형 답안 작성이 쉽지는 않다는 것은 선생님도 알아. 수학 문제를 해결할 때 과정보다는 답을 더 중시하는 분위기가 있어서 과정을 소홀히 하기 쉽거든. 과정이 틀렸을 때 지도가 필요한데 지도받기도 쉽지 않고. 풀이 과정을 논리적으로 작성하는 경험이 적다 보니 서술형 평가 답안을 작성할 때도 어려움을 겪는 건 당연해.

그런데 방법이 아예 없는 건 아니야. 서술형 작성에 가장 큰 도움을 받을 수 있는 게 바로 교과서의 예제에 나와 있는 풀이거든. 예제의 풀이를 보면 어떤 내용을 적어야 하는지, 기호는 어떻게 써야 하는지, 어떤 과정을 거쳐서 답안을 도출해 내야 하는지 등 서술형 답안 작성 과정이 상세히 잘 나와 있어. 최고의 모범 답안이지. 서술형 답안 작성법을 모르겠다고 하면 예제의 풀이 과정을 따라 적어보는 것이 매우 좋은 방법이야.

이렇게 교과서의 예제의 역할이 중요한데 예제를 소홀히 하는 것은 문제가 있겠지? 예제 문제를 스스로 해결할 수 있든, 없든 상관없이 예제의 풀이를 자세히 살펴보고, 익히는 것은 꼭 필요해. 명심하렴.

예제의 풀이는 꼼꼼히 읽어본다.

<문제>

앞서 말한 바와 같이 문제는 개념을 잘 이해했는지, 개념을 활용해서 문제를 해결할 줄 아는지 확인하기 수단이야. 따라서 단순히 개념 이해 정도만 확인하는 ‘기본 문제’와 여러 가지 개념을 활용하고 확장하여야 해결할 수 있는 ‘심화 문제’로 구분할 수 있어. 개념에 대한 이해도가 낮고, 실력이 부족할 때는 기본 문제에 초점을 맞추고 문제 해결을 시도해야 해. 개념을 제대로 이해하는 것을 목표로 해야 하지. 어렵지 않은 문제들을 선택한 후 스스로 해결하는 성공 경험을 쌓는 게 필요한 단계야. 개념에 대한 이해가 어느 정도 된 상태면, 이제는 한 단계 더 앞으로 나갈 때야. 본인의 실력보다 조금 상위의 문제에 도전하여 문제 해결 능력을 키워야 하지.

문제를 해결할 때는 자신의 힘으로 직접 풀어보는 경험이 꼭 필요해. 다른 사람의 풀이를 보고 이해하는 거랑 본인이 직접 과정을 세워 해결하는 것은 완전히 다른 차원이거든. 실력이 부족한 초반에는 예제의 풀이 과정을 열심히 따라 하거나, 다른 사람의 설명이나 도움을 통해 문제를 해결하는 게 필요하지만 결국은 스스로 문제를 해석하고, 분석하고, 해결할 수 있어야 해. 실력이 어느 정도 쌓이면 이 연습을 계속해나갈 거야. 문제를 해결할 수 있을 때까지 계속 고민하고, 여러 가지 개념을 활용해보는 거지. 심화 문제는 한 번에 해결이 안 되는 경우도 많을 텐데, 시험 보는 상황이 아니라면 반드시 그 자리에서 바로 해결할 필요는 없어.

이건 중요한 내용이니 강조할게.

시험이 아닌 상황에서는 주어진 문제를 그 자리에서 바로 해결할 필요가 전~혀 없다.

한 문제에 대해서 오랫동안 고민하지 말라는 게 아니야. 그 문제에 계속 얽혀 있을 필요가 없다는 말이야. 어느 정도 고민하고 시도했는데도 해결이 안 되면 다른 문제나 다른 상황으로 넘어가는 게 필요해. 문제가 해결되지 않는다는 것은 지금까지 시도한 방법이 아닌 다른 방법으로 접근해야 한다는 것을 의미하거든. 그런데 그 문제를 계속 부여잡고 있으면 사고의 전환이 일어나기 힘들어. 같은 방법으로만 계속 시도하게 되어 시간만 낭비하게 되지. 다른 것을 하다가 나중에 다시 그 문제를 보게 되면 새로운 접근이 가능해. 다른 것을 하고 있다고 하더라도 우리 뇌는 이미 그 문제를 인지하고 있고, 해결하려고 노력하고 있거든. 일상에서 이런 경험 있지 않니? 도저히 해결 불가능한 문제라고 생각했는데 며칠 뒤 또는 몇 시간 뒤 해결책이 딱 떠오르는. 수학 문제 해결에 적극적으로 뛰어들다 보면 그런 재밌는(?) 경험을 종종 하게 될 거야. 그 단계까지는 못 갈거로 생각하는 건 아니지?^^ 선생님이 여러 번 얘기했잖아.

학교 수학은 누구나 가능하다는 것.

좋은 방법에 노력을 곁들인다면 누구나 잘 할 수 있는 게 학교 수학이라는 것^^

keyword