올바른 논증, 참된 문장

논리학 입문 #2

[1] 논증은 올바르거나 올바르지 않고, 문장은 참이거나 거짓이다

논리학은 논증의 올바름과 올바르지 않음을 따지는 학문입니다. 올바름과 올바르지 않음은 개별 문장이 아니라 문장들의 묶음인 논증의 속성이고, 그 논증을 구성하는 문장들의 관계에 따라 결정되죠. 만약 전제가 모두 참이라면(!) 결론도 반드시 참일 수밖에 없거나 적어도 결론이 참일 개연성이 높다? 그러면 올바른 논증입니다. 실제로 전제가 참인지는 전혀 중요하지 않아요. 논증의 올바름과 올바르지 않음은 그 구성 문장들 하나하나의 진리값과는 무관합니다.

논증이 무엇인지 기억나지 않는다면 복습을

논리학이 뭘까

때문에 전제와 결론이 모두 거짓이라도 얼마든지 올바른 논증을 구성할 수 있고, 올바르지 않은 논증을 이루는 문장들이 모두 참일 수도 있는 거죠.

예문으로 그 가능성을 짚어봅시다.

[2] 거짓으로 가득 찬 올바른 논증?

올바른 논증의 문장 구성은 다음과 같은 세 가지로 나타날 수 있습니다.

[올바름 ①] 결론과 전제가 모두 참인 경우

뽀로로는 펭귄이다

펭귄은 동물이다

∴ 뽀로로는 동물이다

뽀로로가 펭귄이고, 펭귄은 동물인데 정작 뽀로로가 동물이 아닐 수 있나요? 절대 그럴 수 없죠? 뽀로로가 펭귄이고, 펭귄이 동물이라면(!) 뽀로로도 무조건 동물이어야만 합니다. (뽀로로가 실제로 펭귄인지, 펭귄이 실제로 동물인지는 중요하지 않아요!) 때문에 이 논증은 올바릅니다. 또, 그 논증을 이루는 세 문장이 모두 참이죠.

[올바름 ②] 결론은 참이지만, 전제가 거짓인 경우

뽀로로는 상어다

상어는 두 발로 걷는다

∴ 뽀로로는 두 발로 걷는다

결론은 분명 참입니다. 하지만 전제가 모두 거짓이에요. 뽀로로는 상어가 아니고, 상어는 두 발로 걷지 않아요. 하지만 이들 문장이 이루는 논증은 올바릅니다. 만약에 뽀로로가 상어고, 상어가 두 발로 걷는다는 말이 모두 참이라면(!) 뽀로로가 두 발로 걷는다는 말도 참이겠죠? 실제로 뽀로로가 상어라거나 상어가 두 발로 걷는다는 게 아니라, 만약에 그렇다면 뽀로로도 두 발로 걸어야만 할 것이란 거죠. 그래서 논증은 올바른 게 맞아요.

논증이 올바르면서도, 그 전제가 모두 참이라면 건전하다고 말합니다. 올바름 ① 논증과 달리 이 논증은 건전하지 않네요.

[올바름 ③] 결론과 전제가 모두 거짓인 경우

아이언맨은 브루스 배너 박사다

브루스 배너 박사는 멍청하다

∴ 아이언맨은 멍청하다

이건 거짓으로 가득 찬 논증입니다. 아이언맨은 브루스 배너가 아니라 토니 스타크죠? 또, 브루스 배너와 아이언맨은 모두 똑똑합니다. 하지만 올바른 논증이에요. 만약에 아이언맨이 브루스 배너 박사고, 만약에 브루스 배너가 멍청하다면(!) 아이언맨은 멍청하겠죠. 전제가 모두 참인 경우에는 결론도 반드시 참이니까, 논증은 올바른 것입니다. 거짓으로 가득한 올바른 논증.

[올바름 ④] 전제는 모두 참이지만, 결론이 거짓인 경우?

이런 것도 가능할까요? 불가능합니다. 논증이 올바르다는 게 무엇이었죠?

전제가 모두 참이라면 결론도 반드시 참이거나 적어도 참일 개연성이 높다

전제가 모두 참인데도 불구하고 결론이 명백한 거짓이라면 그 논증은 결코 올바른 것일 수 없습니다. 전제가 결론을 제대로 뒷받침해주지 않는 경우니까요. 참된 전제와 거짓된 결론으로 구성된 올바른 논증이라는 건 논리적으로 존재할 수 없습니다.

[3] 올바르지 않은 논증은?

올바르지 않은 논증은 말 그대로 올바른 논증을 제외한 모든 논증입니다. 전제가 모두 참이더라도 결론은 참이 아닐 수 있거나(=거짓일 수 있거나) 적어도 참일 개연성이 높지 않은 논증이에요. 전제가 모두 참일 때 결론도 반드시 거짓이거나 적어도 거짓일 개연성이 높다는 것과는 다릅니다.

올바르지 않은 논증은 이렇게 소극적으로 정의되기 때문에 스스로를 구성하는 전제와 결론의 진리값에 제한을 두지 않습니다. 그래서 아래 네 가지 경우가 모두 가능합니다.

[올바르지 않음 ①] 결론과 전제가 모두 참인 경우

해리 포터는 마법사다

해리 포터는 호그와트 학생이다

∴ 호그와트 학생은 마법사다

위 문장들은 모두 참입니다. 하지만, 전제들이 결론을 지지하지는 않아요. 분명 해리 포터가 마법사란 말도, 호그와트 학생이란 말도 참입니다. 하지만 이 말들이 호그와트 학생은 곧 마법사라는 문장의 참을 담보하지는 않아요.

해리 포터 이야기를 아는 사람은 호그와트가 오직 마법사만을 위한 학교란 것도 알겠지만, 그게 아니라면 호그와트가 마법사 전용 교육 기관인지 마법사와 머글 모두를 교육하는 기관인지 알 길이 없습니다. 그런 사람이 해리 포터가 호그와트에서 공부하는 마법사란 말만 듣고서 호그와트 학생은 모두 마법사일 것이라 생각할 순 없겠죠? 어쩌면 머글이 마법사 행세를 하고 위장 입학(?)을 했을지도 모르고요.

전제와 결론이 모두 참이라도, 서로 논리적으로 지지하고 지지받는 관계에 있지 않으면 이들로 이루어진 논증은 올바를 수 없습니다.

[올바르지 않음 ②] 결론은 참이지만, 전제가 거짓인 경우

존 스노우는 아무것도 모른다

나이트 워치는 아무것도 모른다

∴ 존 스노우는 나이트 워치다

You know nothing, Jon Snow

존 스노우가 정말로 아무것도 모르는 건 아닙니다. 나이트 워치도 마찬가지고요. 그러니 전제는 모두 거짓이에요. 하지만 결론은 참입니다. 존 스노우는 나이트 워치 사령관 자리까지 올랐던 인물이죠.

그렇다고 이런 결론이 다른 두 문장에 의해 뒷받침되는 건 아닙니다. 전제가 모두 참이라고 하더라도(!) 존 스노우가 나이트 워치라는 문장이 반드시 참이 되거나 개연성이 높아지는 건 아니니까요. 나이트 워치는 아무것도 모르는 바보 집단인 한편, 존 스노우는 나이트 워치와 아무런 연관이 없는 그냥 동네 바보일 수도 있잖아요?

[올바르지 않음 ③] 결론과 전제가 모두 거짓인 경우

존 윅은 군인이다

레옹은 경찰이다

∴ 군인은 경찰이다

어느 하나 맞는 말이 없죠? 존 윅과 레옹은 모두 킬러고, 군인과 경찰은 다른 것이죠. 그러나 이 논증이 올바르지 않은 것은 거짓된 문장들로만 구성되었기 때문은 아닙니다. 그저 전제가 참이라도 하더라도(!) 결론이 반드시 참이어야만 하는 건 아니기 때문에 올바르지 않은 거죠. 딱히 결론이 참일 개연성이 높아 보이지도 않고요. 존 윅이 군인이고, 레옹이 경찰인 세계가 존재한다면 그곳에선 군인이 곧 경찰일까요? 아니죠.

[올바르지 않음 ④] 전제는 모두 참이지만, 결론이 거짓인 경우

셜록 홈즈는 똑똑하다

모리아티는 똑똑하다

∴ 셜록 홈즈는 모리아티다

논증이 올바르지 않다면 (올바른 논증의 경우와 달리) 그 전제가 모두 참이더라도 결론은 얼마든지 거짓일 수 있습니다. 전제가 결론을 논리적으로 뒷받침하는 것도 아닌데요, 뭘.