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정언적 삼단논증
정언 논리 #4
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Jan 23. 2020
정언적 삼단논증?
삼단논증syllogism은 뭐 대단한 게 아니에요. 그냥 문장 3개로 구성된 논증이 삼단논증이에요. 그중 2개는 전제가 되고, 나머지 1개는 결론이 되겠죠. 이 문장들이 정언 문장일 때 논증은 정언적 삼단논증이 됩니다.
[소전제] 모든 고래는 포유류다
[대전제] 모든 포유류는 물고기가 아니다
∴ 모든 고래는 물고기가 아니다
대개념, 소개념, 매개념
이 정언적 삼단논증엔 '고래', '포유류', '물고기' - 이렇게 3가지 개념term이 등장합니다.
결론의 주어와 술어 자리에 오는 개념을 각각 소개념minor term(=고래)과 대개념major term(=물고기)이라고 부르고요. 이들 개념을 포함하는 전제를 소전제minor premise와 대전제major premise라고 부릅니다. 그 외에 두 전제에 모두 등장하는 다른 개념을 매개념middle term(=포유류)이라고 해요.
정언 논증의 격식
정언적 삼단논증은 그 전제에 나타나는 개념들의 위치에 떠라 네 가지 격figure으로 나뉘게 됩니다.
대개념과 소개념, 매개념을 각각 P와 S, M으로 나타낼게요. 술어를 뜻하는 predicate과 주어를 뜻하는 subject에서 따온 것이에요. 매개념은 middle에서 온 것이고요.
전제의 순서는 바뀌어도 무방합니다또 정언 문장은 네 가지 종류로 나타납니다. A, E, I, O 이렇게요. 전제와 결론이 모두 세 문장이니 64가지 조합이 나오겠네요. 이 조합을 식mood이라고 해요.
이렇게 정언적 삼단논증의 격과 식을 모두 고려하면 총 256가지 조합이 나오게 됩니다. 그리고 이걸 "식-격"으로 표현하죠. AEI-1, IOE-3 이런 식으로요.
타당한 정언 논증
256개에 이르는 정언적 삼단논증 형식 중 타당한 것은 불과 15개입니다. 바른말하며 살기가 이렇게나 어렵습니다, 여러분. 그 타당한 논증의 격식은 이래요.
타당한 정언적 삼단논증의 격식, 기억력이 좋다면 그냥 외우는 것도 괜찮습니다(…)타당한 정언 논증은 몇 가지 수험생 꿀팁 특징을 가지고 있어요.
[1-A] 전제가 둘 다 부정문(=E문장 혹은 O문장)인 경우는 없습니다. 두 전제 중 적어도 하나는 긍정문(=A문장 혹은 I문장)이어야 한다는 거죠.
[1-B] 전제 중 어느 하나라도 부정문이면 결론도 반드시 부정문입니다. 거꾸로 말하자면 결론이 긍정문일 땐 전제 역시 둘 다 긍정문입니다.
그래서
모든 성인은 어린이가 아니다
어떤 학생은 어린이가 아니다
∴ 어떤 성인은 학생이 아니다
모든 고양이는 귀엽다
어떤 귀여운 것은 생선을 좋아하지 않는다
∴ 어떤 고양이는 생선을 좋아한다
이런 논증들은 그냥 믿고 거르시면 됩니다. 타당하지 않아요.
이와 유사하게
[2-A] 전제가 둘 다 특칭문(=I문장 혹은 O문장)인 경우도 없습니다. 전제는 최소 하나의 전칭문(=A문장 혹은 E문장)을 포함해야 해요.
[2-B] 전제에 특칭문이 단 하나라도 섞여 들면 결론도 특칭문이 됩니다. 역시 거꾸로 결론이 전칭문이라면 전제는 모두 전칭문이죠.
마찬가지로
어떤 사람은 악하다
어떤 사람은 강하다
∴ 어떤 약한 것은 강하다
어떤 동물은 포유류다
모든 조류는 동물이다
∴ 모든 포유류는 조류다
이런 논증들 역시 믿거 타당하지 않죠.
벤 다이어그램을 활용한 타당성 검사
타당한 정언 논증 형식을 그냥 외우는 것도 방법이에요. 하지만 그러지 않아도 정언적 삼단논증이 타당한지 확인하는 방법이 있습니다.
논증이 타당하다는 건 전제가 모두 참일 때 결론 역시 필연적으로 참이 된다는 말이죠. 따라서 전제의 진리 조건을 벤 다이어그램에 표시하고 나면, 결론의 진리 조건도 벤 다이어그램에 표시되는지를 확인하면 됩니다. 만약 그렇다면 타당성이 확인되는 거겠죠.
예를 들어
모든 철학자는 진지하다
어떤 사람은 진지하지 않다
∴ 어떤 사람은 철학자가 아니다
이 논증은
모든 F는 G다
어떤 H는 G가 아니다
∴ 어떤 H는 F가 아니다
라는 AOO-2 격식을 갖추고 있는데요. 벤 다이어그램으로 타당성을 확인해봅시다.
먼저 두 전제들의 진리 조건을 나타냅니다.
첫 번째 전제는 A문장이니까 이에 맞게 표시를 하는 겁니다. 집합 F 영역 중 집합 G와 겹치지 않는 부분에 (원소가 있어서는 안 된다는 표시로) 빗금을 칠하는 거죠.
두 번째 전제는 I문장이니 집합 H에는 속하되 집합 G에는 속하지 않는 영역에 (원소가 최소 1개 있어야 한다는 표시로) 동그라미를 그립니다. 그런데 동그라미를 그려 넣어야 할 곳이 두 영역으로 나누어져 있으므로 두 영역의 경계선에 동그라미를 그려줄게요. 그 경계선을 공유하고 있는 두 영역 모두(=집합 F와 집합 H)에 걸쳐서 최소 1개의 원소가 있음을 나타내야 하니까요.
그럼 이런 그림이 나옵니다.
이제 이 벤 다이어그램에 결론의 진리 조건이 이미 반영되어 있는지 확인하면 돼요. 집합 H에는 속하되 집합 F에는 속하지 않는 원소가 최소 하나 있으면 되겠죠?
벤 다이어그램엔 이미 집합 H 내에 원소가 있어야 한다는 동그라미 표시가 있습니다. 동그라미가 걸쳐진 2개 구역 중 적어도 어느 하나엔 원소가 최소 하나 있는 거죠.
그런데 빗금이 치어진 구역엔 원소가 있을 수 없습니다. 그러니 원소는 해당 2개 구역 중 빗금이 치어지지 않는 구역에 존재할 겁니다. H에는 속하지만, F에는 속하지 않는 그곳. 이 논증은 타당합니다.
그럼 이건 어떨까요?
모든 논리학자는 똑똑하다
어떤 철학자는 똑똑하다
∴ 어떤 철학자는 논리학자다
이 논증은 AII-2 격식으로
모든 F는 G다
어떤 H는 G다
∴ 어떤 H는 F다
로 형식화할 수 있어요.
먼저 전제의 진리 조건을 벤 다이어그램에 표시합니다.
첫 번째 전제는 A문장이니 집합 F에는 속하되 집합 G엔 속하지 않는 영역에 빗금을 쳐야 하죠. 그곳엔 원소가 들어가면 안 되니까요.
또 두 번째 전제는 I문장이니 집합 H와 집합 G의 교집합이 원소를 최소 1개 가져야 합니다. 그 영역에 동그라미를 그려요. 이번에도 동그라미가 그 영역을 가로지르는 경계선에 걸치도록 합니다. 그 경계선을 기준으로 어느 쪽에 원소가 들어가든 상관이 없으니까요. (물론 양쪽 모두에 원소가 있어도 괜찮고요.)
