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Feb 18. 2020
양화사를 여럿 둔 문장
술어 논리 #7
양화사를 여럿 둔 문장
변항을 2개 이상 품은 열린 문장이 진리값을 갖기 위해선 그에 맞게 양화사도 2개 이상을 두어야 합니다.
가령
Lxy: x는 y를 사랑한다
가령 이런 열린 문장은 양화사 둘이 나서서 변항 x와 y를 각각 속박해주어야 비로소 진리값을 가질 수 있게 되죠. 헌데 그렇게 양화사를 여럿 둔 문장은 이해하기가 상당히 까다로워요. 두 양화사 중 어떤 것이 먼저 열린 문장에 결합하느냐에 따라 그 의미가 달라지기도 하거든요.
두 양화사가 같은 종류일 땐 그 순서가 바뀌어도 문장의 의미는 변하지 않습니다. 예를 들어
(∀x)(∀y)Lxy ≡ (∀y)(∀x)Lxy
위 두 문장은 서로 의미가 같아요. "모든 x와 y에 대하여, x는 y를 사랑한다"는 말은 곧 모두가 모두를 사랑하고, 또 모두가 모두에게 사랑을 받는다는 의미가 되겠죠. x와 y의 자리에 무엇을 넣든 참이 될 것이니까요.
다음과 같은 경우에도 마찬가지에요.
(∃x)(∃y)Lxy ≡ (∃y)(∃x)Lxy
이들 두 문장은 "어떤 x와 y에 대하여, x는 y를 사랑한다"는 말입니다. 쉽게 풀자면 사랑을 하는 사람이 존재하고, 또 사랑을 받는 사람이 존재한다는 거죠. 사랑을 하는 사람이 단 하나라도 있다면, 그리하여 그 사람에게 사랑을 받는 사람이 단 하나라도 있다면, 이 문장은 참이 됩니다.
이 영화 속 세계에선 이 문장이 참이겠군요.
두 가지 다른 양화사를 둔 문장
문제는 열린 문장 하나에 종류가 다른 양화사 둘이 붙을 때다. 4가지 경우가 있을 수 있어요.
문장 ①과 ②는 어떻게 다를까요?
문장 ①은 (∀y)Lxy라는 열린 문장에 존재 양화사 (∃x)가 붙어 만들어진 문장입니다. 곧 (∀y)Lxy를 참으로 만들어주는 x가 존재한다는 것이죠.
그럼 (∀y)Lxy는요? y자리에 무엇을 넣는 "x는 y를 사랑한다"는 말이 참이 된다는 거죠? 곧 x가 모든 사람을 사랑함을 의미합니다.
그래서 문장 (∃x)(∀y)Lxy는 모든 사람을 사랑하는 누군가가 존재한다는 말이 돼요. 이 박애주의자가 누군인지 혹은 몇 명인지는 몰라도 하여간 있기는 있다는 거죠.
문장 ②를 구성하는 열린 문장 (∃x)Lxy은 y를 사랑하는 사람이 존재한다는 의미입니다. 그리고 여기에 보편 양화사 (∀y)가 결합하여 y가 무엇이든 (∃x)Lxy는 참이 될 것임을 나타내죠. 곧 y가 누구든 그 사람을 사랑하는 사람이 존재할 것이란 말이 돼요. y가 아무리 슈렉처럼 못생기고 야수처럼 험악해도, 피오나와 미녀처럼 그 y를 사랑하는 이가 존재한다는 거죠.
이걸 그림으로 나타내면 이렇습니다.
문장①이 참이면 문장② 역시 참입니다. 하지만 그 역은 성립하지 않아요.문장 ③과 ④도 살펴봅시다.
문장 ③은 모든 사람이 y를 사랑한다는(=y가 모든 사람에게 사랑을 받는다는) 열린 문장 (∀x)Lxy이 참이 될 수 있도록 하는 y가 존재한다는 말입니다. (∃y)(∀x)Lxy는 그래서 모두에게 사랑을 받는 슈퍼스타에 대한 문장이 돼죠.
반면 문장 ④는 누구나 사랑이란 것을 한다는 말을 하고 있어요. 열린 문장 (∃y)Lxy는 x가 누군가를 사랑함을 뜻합니다. 그가 사랑하는 누군가가 존재한다는 말이니까요.
여기에 보편 양화사 (∀x)가 붙습니다. 그럼으로써 모든 x에게(=모든 사람에게) 사랑하는 사람이 있음을 나타내죠. 그 x가 조커와 타노스와 같은 악당이라 하더라도, 어머니와 딸 가모라 등 그가 사랑하는 사람이 없지 않다는 겁니다.
역시 문장 ③의 참은 문장④의 참을 함축하되, 그 역은 성립하지 않아요.양화사 도치 오류
문장을 구성한 두 양화사의 종류가 다를 땐 이렇게 그 순서에 따라 의미가 크게 달라집니다. 이걸 혼동할 때, 특히 문장 ②로부터 문장 ①을 혹은 문장 ④로부터 문장 ③을 추론할 때 양화사 도치 오류quantifier shift fallcy를 범한다고 말합니다.
"모든 사람에겐 어머니가 있다"는 전제로부터 "모든 사람을 낳은 어머니가 존재한다"는 황당한 결론을 이끌어내는 게 양화사 도치 오류에 해당합니다. 어떤가요? 바보가 아니고서야 이런 오류를 범할 수 있나, 이런 생각이 드시죠? 하지만 이건 모든 사람을 자녀로 둔 여성이 없다는 게 너무 분명하기 때문에 그럴 가능성이 큽니다.
토마스 아퀴나스Thomas Aquinas도 이런 오류를 범했거든요. 그는 『신학대전Summa Theologica』에서 신, 그러니까 필연적 존재자(=존재하지 않을 수 없는 존재자)가 있음을 주장하면서 이런 드립을 던집니다. 세계에 있는 모든 존재자가 우연적 존재자(=존재하지 않을 수도 있는 존재자)라고 가정한다면 그릇된 결론으로 치닿게 될 것이란 귀류법을 시전하는 것이죠.
(1) 이 세계에 아무것도 존재하지 않는 것은 불가능하다.
(2) 모든 존재자는 우연적 존재자다. 이들 각각은 존재하지 않을 수 있다.
(3) 그렇다면 이 세계에 아무것도 존재하지 않는 것이 가능해야 할 것이다.
∴ 따라서 모든 존재자가 우연적 존재자인 것은 아니다. 필연적 존재자가 있다.
