술어 논리 체계에서의 해석

술어 논리 #8

해석을 한다는 건 언어적 표현에 의미를, 보다 구체적으로는 지시체를 부여하는 걸 일컫습니다. 가령

"수성"이란 태양계에 속한 행성 중 태양과 가장 가까운 것을 가리키는 걸로 보자!

이런 게 해석이죠.

문장 하나하나를 최소 단위로 삼는 명제 논리 체계에선 해석을 한다는 게 문장에 진리값을 부여하는 것이었습니다. 문장의 지시체가 진리값이니까요.

명제 논리 체계에서의 해석

하지만 술어 논리 체계에선 문장을 술어와 술어에 호응하는 항으로 나누어보죠. 그래서 이들 각각에 대한 해석이 요청됩니다. 구체적으로 술어에는 그 술어가 적용될 수 있는 대상들의 집합을, 그리고 상항에는 특정 대상들을 할당해야 하죠.

그럼 술어 F, G, H와 상항 a, b, c에 대해 해석을 한 번 해봅시다.

[해석 1]

F: {x|x는 철학자다}
G: {x|x는 독일인이다
H: {<x,y>|x는 y의 스승이다}

a: 소크라테스
b: 플라톤
c: 니체

해석 1 아래에서 문장 Fa와 Fb, Fc 등은 모두 참이 됩니다. 왜냐하면 a, b, c에 할당된 대상이 모두 F에 할당된 집합의 원소거든요.Gc 역시 이런 이유로 참이죠. 이럴 때 소크라테스와 플라톤, 니체가 Fx를 충족시킨다고 표현하기도 합니다

Hab 역시 참입니다. a와 b에 할당된 대상들로 이루어진 순서쌍이 술어 H에 할당된 집합의 원소이기 때문이죠. <소크라테스, 플라톤>이 Hxy를 충족시킨다고 말하기도 하고요.

그럼 이제 조금 다른 해석을 도입해볼까요?

[해석 2]

F: {1, 2}
G: {2, 3}
H: {<1, 2>, <2, 3>, <3,1>}

a: 1
b: 2
c: 3

해석 1 아래에선 참이던 문장 Fc는 해석 2에 따르면 거짓이 됩니다. 반면 해석 1에 따르면 거짓이 되는 문장 Hbc와 Hca가 해석 2에선 참이 되고요. 충분히 그럴 수 있습니다. 왜냐하면 해석이란 언어적 표현에 지시체를 할당하는 일이고, 어떤 표현의 지시체란 그 표현이 등장하는 문장의 진리값을 결정하는 것이니까요. 이렇게 같은 문장도 어떻게 해석되느냐에 따라 다른 진리값을 갖습니다.

물론 해석이 이루어지지 않으면 문장은 아무런 진리값도 갖지 않습니다. 진리값을 결정하는 지시체가 없으니 진리값도 당연히 없죠. 아무것도 의미하지 않는 기호는 그냥 빈 껍데기일 뿐이에요.

---

양화사가 붙은 문장에 대해서도 생각해봅시다. (∀x)(Fx)는 해석 1에 따르면 참일까요? 알 수 없습니다. 왜냐하면 논의 영역이 아직 해석되지 않았기 때문입니다.

만약 논의 영역이 {소크라테스, 플라톤, 니체} 정도로 좁게 해석된다면 "모든 것은 철학자다"라는 위 문장은 참이 될 겁니다. 하지만 논의 영역이 조금이라도 더 넓게 해석된다면 이 문장은 얼마든지 거짓이 될 수 있습니다. 세상에 철학자가 아닌 게 얼마나 많습니까? 히틀러, 책상, 3, 커피, 빛, 은행, 순수함, 3 등등…

그래서 술어 논리 체계에서의 해석은 논의 영역을 확정하는 작업까지 마쳐야만 끝이 나게 됩니다.

그리하여 (∀x)(Fx)는 논의 영역 내 모든 존재자가 술어 F에 할당된 집합의 원소일 때 참이 됩니다. 반대로 이 문장이 참일 땐 논의 영역 내 모든 존재자가 열린 문장 Fx를 충족한다고 말하고요.

또, (∃x)(Fx)는 논의 영역 내에 술어 F에 할당된 집합의 원소가 존재한다는(=논의 영역 내 최소 1개의 존재자가 이 집합의 원소라는) 의미가 되죠. 역시 이 문장이 참일 땐 어떤 존재자가 열린 문장 Fx를 충족한다고 해요.