문제를 푸는 과정에 실제로 적용하라
수포자의 수학 극복기
“이제 수학을 접근하기 위한 근본 공부의 마지막까지 왔다. 이렇게 수학 공부의 근본만 알게 되면 남은 것은 이걸 바탕으로 수학의 모든 단원들을 공부하고 문제를 풀어나가면 되는 것이다.”
“선생님. 그렇다면 지금까지 배운 모든 것들을 바탕으로 문제를 어떻게 접근하고 풀어나가는지 예시를 볼 수 있을까요?”
“좋아. 자, 그렇다면 앞에서 계속 예시로 들었던 ‘실생활 활용 문제’를 풀이과정에 더 집중해서 풀어보도록 하자. 이걸 풀어낸다면 네가 수학 공부에 가졌던 모든 의문들을 전부 해소할 수 있을 게다.”
지면에서 지면에 수직인 방향으로 초속 60m로 쏘아 올린 야구공의 t초 후의 높이가 (60t-5t^2) m라고 한다. 이 야구공이 지면에 떨어지는 것은 쏘아 올린 지 몇 초 후인지 구하시오.
이 문제에서 구해야 할 것은 ‘야구공이 지면에 떨어지는 것이 쏘아 올린 지 몇 초 후’ 인가라는 것이다. 문제에서는 ‘초’를 조건 상황에서 t로 두었기 때문에 구해야 하는 ‘야구공이 지면에 떨어지는 시간’을 t로 두어야 한다.
그렇다면 야구공이 지면에 떨어진다는 이렇게 긴 언어적 표현을 풀이과정에 사용하기 위해서 수학적 표현으로 어떻게 간단하게 바꿀 수 있을까?
지면에 떨어진 상태는 높이가 없는 것이기 때문에 0이 되는 것이다. 결국 문제에서 묻고 싶은 것은 높이가 t초에 따라 (60t-5t^2) m로 변하는 조건을 가진 야구공의 높이가 0이라면 그게 몇 t초 후가 되었는지를 알아내라는 셈이다.
따라서 이 문제에 적힌 모든 상황을 수학적 언어로 바꾼다면 60t-5t^2 (m) = 0 (m)이다.
줄글로 된 문제는 엄청 복잡해 보이는데 이것을 수식으로 바꾸니 우리가 수학에서 배우는 이차방정식의 기본 형태가 나타난다. 그렇다. 이것은 활용 문제였어도 결국 수식으로 표현하면 우리가 수학에서 배우는 특정 단원일 뿐이다.
자, 그렇다면 이차방정식의 정의가 무엇이었지?
이차방정식이란 주어진 등식의 우변에 있는 모든 항을 좌변으로 이항 하여( 다항식 ) = 0 꼴로 정리했을 때 미지수 x에 대한 이차식인 것을 말한다.
방정식에서 해 또는 근이란 주어진 방정식을 참이 되게 하는 미지수 x의 값을 의미한다.
이차방정식을 푼다는 말은 주어진 이차방정식의 해를 구한다는 의미이다.
이차방정식의 정의 부분에서는 저 3개의 개념이 핵심이다.
결국 몇 t초 후란 저 방정식을 만족하는 해인 셈이다.
그렇다면 이차방정식은 어떻게 풀어야 하지?
이차방정식은 일반적으로 인수분해를 이용해서 푼다.
그러나 인수분해가 되지 않는다면? 근의 공식을 쓴다.
먼저 살펴보자. 위의 식은 인수분해가 되는가?
우선 5^2-60t = 0 보다 t에 대한 2차식이라는 걸 보기 편하게 5로 나누어 주면 t^2-12t = 0라는 식으로 단순화된다. 어? 그리고 식을 t로 묶어 정리해주면 t(t-12) = 0 이 된다.
그렇다. 인수분해가 된다.
그렇다면 근의 공식까지 갈 필요 없다.
t= 0이라는 건 움직이지 않았다는 소리니 몇 초 후라면 12초 후여야 한다.
“맞다. 그렇다면 문제와는 상관없지만 따로 물어보는 거다. 이 식은 판별식의 성질과도 부합하니?”
판별식을 쓰려면 이차방정식의 성질을 활용해야 한다. 이차방정식은 굉장히 다양한 성질을 갖고 있는데 제1의 성질은 복소수 상에서라면 이차방정식의 근은 실수일 수도 허수일 수도 있다는 것이다.
이차방정식과 관련한 유명한 공식이 바로 근의 공식인데 이차방정식의 두 근은 그 근의 공식을 외우고 있다면 구하기 쉽다.
하지만 근의 공식이 도출되는 과정을 보면 제일 중요한 것은 제곱근(루트) 안의 식 b^2-4ac의 값이 양수인지 0이 되는지 음수인지에 따라 ‘근의 성질’이 정해진다.
5t^2-60t = 0으로 정리하고 5로 나누어서 t^2-12t = 0로 만든다.
그리고 판별식 b^2-4ac에 대입해보면 양수가 나오기 때문에 이것은 서로 다른 두 실근을 갖는다.
“그래서 0 이거나 12인 셈이군요. 다만 0은 움직이지 않았다는 의미니까 답이 될 수 없고요.”
“그래. 가장 기초 문제에서 출발하는 거지만 개념과 공식을 언제 어떻게 적용해야 하는 건지 어렴풋이 이해할 수 있겠지? 우리의 수업은 이런 방식으로 진행할 거다. 앞으로 수능 때까지 수학 문제는 이런 식으로 접근하게 될 것이다.”
