지수 함수 내용을 보다가 다시 점(點)을 만나기
수학에 대한 글쓰기 2023
<세상 물정의 물리학>을 읽다가 아주 충동적으로 한동안 멈췄던 수학에 대한 글쓰기를 재개합니다. 시작은 지수 함수를 복습할 생각으로 구글링을 했더니 칸 아카데미 강의가 나왔습니다. 가볍게 세 개의 영상을 쭉 보다가 궁금증이 생겼습니다.
Linear, 일차 함수, ...
지수 함수도 마찬가지지만, 영어와 우리말이 병행해서 쓰이면 일대일 대응인지 불분명하고 단어의 의미를 더 찾아보고 싶었습니다. 그래서 먼저 Linear로 구글링 했더니 다음의 질문을 만났습니다.
선형성이 뭐길래?
방황인 듯도 했지만 그냥 목표를 두고 하는 학습이 아니라 그냥 즐기기로 했습니다. 제가 처음 읽은 문서에서는 디지털 이동 통신이란 맥락에서 '선형성'을 다루고 있었습니다. 제가 배경 지식이 전혀 없는 분야였죠. 쭉 따라가기가 버거워서 대충 훑은 후에 결론부터 다시 봅니다.
결국 선형성이 나타내는 궁극적인 의미는 결국 이런 말입니다.
필요성에 대한 이해는 다음 문장에서 할 수 있었습니다.
현대의 거의 모든 통신은 한정된 주파수 자원을 나누어 사용해야 합니다. 그러다 보니 동시다발적으로 주파수자원을 쪼개서 사용하기 때문에, 서로 한정된 자기 주파수 내에서만 동작하면서 다른 주파수 신호를 방해해서는 안되며, 물론 방해받아도 안됩니다.
간섭이 발생하는 상황에 대한 도식을 다음의 그림인 듯합니다.
그리고 선형성을 확보해 가는 과정 자체가 아니라 수학적 도식으로 개념적으로 그린 그림이 아래 인듯합니다.
완전히 이해했다고 보기는 어렵지만, 선형성이라는 개념이 통신 분야에서 공학적으로 쓰인다는 사실을 엉겁결에 알게 된 듯합니다.
차(次), 차(差), 차원(dimension)
다만, 일차(一次)라는 표현과 선형(linear) 사이에 연관성이 궁금했는데 아직 분명하지 않은 듯하여 일차 함수를 키워드로 구글링을 합니다.
마음에 들지 않는 결과라 영문 위키피디아 페이지에 가 봅니다.
A linear function is a polynomial function in which the variable x has degree at most one
단서는 'degree at most one'에 있는 듯합니다. 링크의 다른 글도 살펴보다가 다음 문장을 만납니다.
The key property of linear functions is that they have a constant rate of change.
칸 아카데미 3번째 강좌에서 본 내용인 듯합니다. 찾아봅니다.
일차함수에서는 y값이 같은 차를 가집니다.
여기서 차(差)는 일차의 차(次)는 아닙니다. 아래의 식으로 표현되는 내용인 듯도 합니다.
다시 점(點)을 만나다
지금까지 뚜렷한 목적 없이 푹 빠져온 듯합니다. 충분히 즐겼으니 부족한 배경 지식을 인정하고, 무리하지 않기로 합니다. 아직 제가 차(次)를 통합적으로 인식하기에는 무리가 있다고 판단했습니다. 마지막으로 차(次)는 모르겠지만 차원(次元)에 대해서만 기본 개념을 찾아보기로 합니다.
In physics and mathematics, the dimension of a mathematical space (or object) is informally defined as the minimum number of coordinates needed to specify any point within it.
와우. 찾아보길 잘했습니다. 'minimum bember of'를 읽는 순간 바로 잊어버린 <선(線)과 점(點)의 의미를 찾아보기>편이 떠올랐습니다. 그리고 점과 Point의 정의를 옮겨 봅니다.
점(點)은 크기가 없고 위치만 있는 도형을 말한다. 점은 유한직선(有限直線)의 일단(一端)이며, 선의 교차에 의하여 생긴다. 점은 선, 면, 도형 등의 기초가 된다.
유한직선(有限直線)의 일단(一端)이라는 설명은 마치 점을 선의 부속으로 규정짓는 듯한 불편함이 느껴졌지만, 위키피디아의 정의인 공간에 대응하는 집합의 요소(an element of some set called a space.)로 설명하는 표현은 쉽게 공감할 수 있었습니다.
In classical Euclidean geometry, a point is a primitive notion that models an exact location in the space, and has no length, width, or thickness. In modern mathematics, a point refers more generally to an element of some set called a space.
