정언 문장을 술어 논리 체계로 불러들이면

술어 논리 #3

술어 논리 체계의 확장성

술어 논리 체계는 ①연결사는 물론, 문장을 구성하는 데 필수적인 ②술어와 ③상항, 또 열린 문장의 성분이 되는 ④변항과 변항을 속박하는 ⑤양화사까지 다양한 언어를 갖춤으로써 그 영역을 확장하게 됩니다.

술어 논리가 필요한 순간

열린 문장과 양화사

명제 논리 체계에게는 연결사와 p, q, r과 같이 문장을 나타내는 기호들이 전부였어요. 하지만 술어 논리 체계는 연결사와 함께 명제 논리 체계보다 훨씬 더 풍부한 언어로 문장을 읽어냄으로써 보다 다양한 말을 보다 깊이 논할 수 있게 됩니다.

F: -는 펭귄이다

a: 펭수
b: 뽀로로

펭수와 뽀로로가 펭귄이라는 말을 기호로 옮길 때 명제 논리 체계에선 "펭수는 펭귄이다"라는 문장 p와 "뽀로로가 펭귄이다"라는 문장 q를 두고서 이렇게 써야 할 거예요.

p&q

그런데 이렇게 쓰면 이들 두 문장이 가진 공통점(=펭귄에 대한 문장이라는 점)이 드러나지 않습니다. 하지만 술어 논리 체계에선 달라요.

Fa&Fb

이제 두 문장이 같은 술어를 갖는다는 점은 보다 분명하게 드러납니다.

나도 뽀로로랑 같은 종이란 걸 알겠니?

정언 문장을 술어 논리 체계로 불러들이면

그럼 정언 논리 체계는 어떨까요?

정언 문장

정언 논리 체계에서 문장은 아래와 같이 네 가지로 분류됩니다. 덕분에 문장의 다양성이 주목을 받을 수 있게 되죠.

하지만 이들 문장에 연결사를 붙이는 등 명제 논리 체계와 술어 논리 체계에선 가능한 작업들이 정언 논리 체계에선 불가능해요.

그럼 이 문장들을 술어 논리 체계에 담아낼 수 있도록 번역(?)을 할 순 없을까요? 있습니다. A, E, I, O - 이 네 가지 정언 문장들은 모두 술어 문장화할 수 있어요.

F: -는 인간이다
G: -는 색맹이다

A문장은 인간이라면 누구나 색맹이라는 의미죠. 그게 무엇이든 일단 인간이기만 하면 곧 색맹이기도 하다는 것이죠. 그래서 이 문장은 (∀x)(Fx→Gx)로 나타낼 수 있습니다. 변항 x 자리에 무엇이 오든 상관없이 "x가 사람이면 x는 색맹이다"라는 열린 문장은 참이 될 것이란 말입니다. 모든 게 x가 될 수 있는 거죠

E문장은 반대로 인간이라면 모두 색맹이 아니라 말합니다. 무엇이든 간에 사람인 것은 모르긴 몰라도 결코 색맹은 아닐 거란 거죠. 이 문장은 (∀x)(Fx→~Gx)로 쓸 수 있습니다. x 대신 무엇을 넣더라도 열린 문장 Fx→~Gx이 참이 될 거란 의미니까요.

그럼 I문장과 O문장은 어떨까요? 모든 것에 대한 진술을 담는 A문장과 E문장을 번역할 때 모두 보편 양화사가 쓰이죠. 그럼 I문장과 O문장을 번역할 땐 보편 양화사 대신 존재 양화사를 쓰기만 하면 되는 걸까요? I문장은 (∃x)(Fx→Gx)로, 그리고 O문장은 (∃x)(Fx→~Gx)로? 꽤 그럴 듯 하긴 합니다. 그럼 "어떤 인간이 색맹"이라는 말은 정말로 "어떤 x에 대하여, x가 사람이면 x는 색맹"이라는 말과 같을까요?

실은 그렇지 않습니다. 문장 (∃x)(Fx→Gx)는 색맹이 전혀 없는 세계에서도 얼마든지 참이 될 수 있거든요.

문장 (∃x)(Fx→Gx)가 참이란 말은 곧 열린 조건문 Fx→Gx를 참으로 만들어주는 x가 최소 1개 존재한다는 말입니다. 그런데 조건문은 그 전건이 거짓이기만 하면 참이 돼요. 가령 x 자리에 "그루트"가 온다면 어떨까요?

a: 그루트

그루트는 인간이 아니죠? 그러니 이때 조건문 Fa→Ga는 참이 됩니다. 어? 그럼 열린 조건문 Fx→Gx를 참으로 만들어주는 x가 존재하는 것이겠군요? 이 세계에 그루트가 존재한다면 문장 (∃x)(Fx→Gx)는 참이 됩니다. 어느 누구도 색맹이 아닌 세계에서도 말이죠.

사실 문장 (∃x)(Fx→Gx)는 너무 쉽게 참이 돼요. 사람이 아닌 것이 하나라도 존재하면 되는 거니까요. 사람이 아닌 게 얼마나 많습니까? 책상, 양파, 염화나트륨, 화성, 털, 독일어 등등… 이런 것들이 존재하는 한 색맹인 인간이 단 하나도 없을지라도 (∃x)(Fx→Gx)는 참일 거예요.

그러니 "모든 인간은 색맹이다"라는 I문장은 (∃x)(Fx→Gx)와 같은 것일 수 없습니다.

I문장은 사람인 동시에 동물인 것이 존재한다는 의미로 읽어야 합니다. 따라서 (∃x)(Fx&Gx)로 기호화할 수 있어요.

반면, 어떤 사람은 동물이 아니라는 O문장은 사람이되 동물이 아닌 것이 존재한다는 말입니다. 그래서 (∃x)(Fx&~Gx)로 표현할 수 있죠.

이 벤 다이어그램을 보면 정언 문장을 양화 문장으로 올바르게 번역하는 법이 보다 분명하게 알 수 있습니다

이제 네 가지 정언 문장은 술어 논리 체계로 들어왔습니다.

술어 논리 체계로 들어온 정언 문장들

이렇게 볼 때 명제 논리 체계와 정언 논리 체계를 공부한 것은 모두 술어 논리 체계로 들어오기 위한 사전 작업(?)처럼 느껴지기도 합니다. 실제로 명제 논리 체계와 정언 논리 체계를 통해 다룰 수 있는 모든 문장과 논증은 술어 논리 체계로 다룰 수 있습니다. 술어 논리 체계는 다른 둘을 아우르는 확장판(!)인 셈이죠.