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Sep 06. 2020
일반 상대성 이론
시계가 알려주는 상대론적 중력
자, 이제 일반 상대론 이야기를 할 때가 되었습니다. 하지만, 이걸 이렇게 글로서 배우는 게 가능할까요? 아마 아니겠지요?
고등학교 들어가서 물리를 선택하면 만유인력도 배우고 뉴턴의 운동 방정식도 배우며, 케플러의 법칙이 이 둘을 잘 조합하면 나온다는 이야기까지 배웁니다. 혹은 생물을 선택하면 요즘은 분자 생물학 이야기를 많이 배우더군요. 이중 나선, DNA와 RNA, 그리고 이 유전자 정보로부터 단백질이 어떻게 만들어지고 어떻게 세포 안에서 작용을 하는지 등등.... 하지만 배웠으니 이해한다고 할 수 있을까요? 역시, 아닐 겁니다. 이해가 아닌 익숙함을 얻는 것이지요.
그래서 여기서는 일반 상대론에 대한 익숙함을 조금이라도 얻어가시는 것을 목표로 이야기를 해보겠습니다. 그렇다고 해도, 수식 없이 넘어갈 수 있다는 환상은 처음부터 버리시길 바랍니다. 수학적 변수와 기호를 쓰는 것이 가장 불편할 터이지만, 사실 실제 글에서 보여주는 산수는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈에 추가로 제곱과 제곱근까지만 필요합니다.
(이 글의 내용은 최근 온라인 강연의 일부로 재구성되어 업로드 되었습니다: https://www.youtube.com/watch?v=TVfvEKRRZio )
일반 상대성이론은 중력에 대한 이야기이다. 물론 일상적인 범주에서 중력은 뉴턴의 만유인력에 의하여 비교적 잘 설명되고 있다. 질량 M은 다른 질량 m을 끌어당기는 힘을 주는데, 그 세기가 M*m에 비례하고 두 질량 사이의 거리의 제곱에 반비례한다고 했다. 이 내용을 F 즉 힘에 대입하고, F=m*a라는 운동 방정식을 풀면 m이 M에 대하여 움직이는 방식을 구할 수 있다는 것이 뉴턴의 만유인력과 운동 방정식 이야기이다. 물론 이건 M이 m보다 현저히 클 때의 이야기이고, 더 일반적으로는 살짝 더 복잡해지지만 이야기의 대세에는 영향이 없다. 이 방정식들을 도대체 어떻게 푸는지는 굳이 직접 하려고 할 필요도 없다. 그런 거 하는 전문가들은 충분히 많고, 이들에게 믿고 맡기면, 달까지 가는 로켓도 만들어내고, GPS에 필요한 인공위성도 지구 궤도에 띄운다.
지금도 이렇게 잘 쓰이는 만유인력임에도 이미 수 세기 전부터 머리 좀 쓴다는 사람들의 의심을 받아왔다. 왜냐하면 이 이론은 소위 원격 작용(Action at a Distance)에 근거하기 때문이다. 천체 M과 로켓 m이 서로를 당기는 힘이 작용을 하는 데 있어 어떠한 시간도 걸리지 않는다는 말이다. 태양계처럼 "작은" 동네에서는 그렇다고 쳐도, 과연 1억 광년쯤 떨어져 있는 두 물체가 서로의 위치를 확인하는데 전혀 시간이 걸리지 않을까?
"힘"이 물리적인 실체라면 사실 매우 믿기 힘든 말이다. 물리적 실체를 가진 물건들의 궤적에 영향을 주는 힘이 물리적 실체가 아니라는 말은 더더욱 말이 될 수 없다. 너무 멀어지면, 그 힘이 너무 작으니 어차피 의미 없는 질문이라고 할지도 모르겠으나, 자연법칙은 그렇게 작동하지 않는다. 없는 것과 작은 것은 엄연히 다른 것이다. 물리적 실체가 있는 그 무엇도 광속보다는 빠르게 전달될 수 없다는 특수 상대성 이론은 여기에 쐐기를 박았고, 그래서 만유인력과 이를 지탱하고 있던 원격 작용은 폐기되어야만 했다.
더구나, 이 문제는 뉴턴의 만유인력을 조금씩 고쳐가면서 해결할 수 있는 성격이 아니다. 무엇보다도 특수 상대론은 F=m*a 조차도 폐기해 버렸으므로, 왼편을 어떻게 바꾼다고 해서 고쳐질 리 없다는 말이다. 그래서, 최소한 두 가지 질문에 대한 대답을 해야 했다. 1) 운동 방정식은 상대론적으로 어떻게 바뀌는가? 2) 천체 M의 중력은 m의 이 새로운 운동 방정식에 어떤 방식으로 영향을 끼치는가?
물론, 상대론적 중력이 중요해지고 만유인력을 100% 믿어서는 안 되는 상황이 그리 흔하지는 않다. 지구 주변 중력 현상의 대부분, 태양계 행성 위성의 궤적, 심지어는 은하와 은하단들의 움직임 등등 상당 부분이 뉴턴의 만유인력으로 충분하다. 상대론이 필요해지려면, 천체의 속도가 광속에 비해 무시할 수 없거나, 아주 미세한 차이가 중요하거나, 매우 먼 거리 혹은 오랜 시간에 거쳐 일어나는 현상이거나 해야 한다. 이들을 각기 대표하는 문제들로는 블랙홀, 위성을 사용한 GPS 시스템, 그리고 우주 전체의 역사 정도를 생각하면 되겠다.
(중력의 "세기"가 매우 커야 상대론이 중요해진다고 생각하기 쉬운데, 이는 의외로 옳지 않은 말이다. "세기"라는 말의 의미에 따라 옳기도 하고 틀리기도 할 수 있는데, 그래서 조심해야한다. 특히 흔히 중력가속도로 불리는, 만유인력에서 거리 제곱에 반비례하는 F에 해당하는 그 중력의 "세기"는 이에 크게 관련이 없다. 실은, 중력으로 인한 위치 에너지의 크기가 커지면 상대론이 반드시 중요해 진다고 할 수 있는데, 아래 이야기로 재구성하면, 고유시간의 흐름이 이상해지는 정도에 직결된다.)
일반 상대론에 대한 이야기는 물질이 시공간을 어떻게 휘어지도록 하는지에 대한 이야기로 흔히 시작한다. 그래서 이야기를 풀어가기 위해서는 이 말이, 즉 시공간이 휘어진다는 말이 무슨 말인지 이해할 필요가 있고, 이는 다시 이전 글에서 긴 이야기를 한 "시간"의 문제로 연결된다. 특수 상대성 이론에서 이미, 믿을 수 있는 혹은 물리적인 양으로서 의미가 있는 유일한 시간은 소위 "고유 시간(proper time)"이라는 이야기를 했는데, 1)과 2)에 대한 답들이 온전히 이 "고유 시간"을 통해 구현되는 것을 이해해 보자.
앞 글 말미에서처럼 텅 비어있는 우주에서 관성계를 하나 정하고, 그 관성계가 사용하는 시간을 t라고 하자. 이 관성계를 기준으로 v(t)의 속도로 움직이는 사람은 자신 만의 고유 시간을 축적해 나가는데, 아주 짧은 dt에 대하여, t와 t+dt 사이에 순간적으로 축적되는 고유 시간은
(1-v(t)^2/c^2)^(1/2) * dt
이며, 이것을 다 더하면, 즉 적분을 하면 이 객체가 실제로 경험한 고유 시간이 구해진다. 이전 글에서 배웠듯이 여기 수학 기호 중 ^2는 제곱, 즉 그 앞에 있는 것을 두 번 곱한다는 말이고, ^(1/2)은 이의 반대, 즉 제곱근을 의미한다.
그런데, 제곱근이 복잡하니, 적분은 나중에 하는 것으로 하고, 일단 매 순간 축적되는 이 시간의 제곱인
dt^2 - v(t)^2/c^2 * dt^2
을 주로 사용하려고 한다. 이를 조금 다르게 써보자. 속도 v(t)는 x를 t로 미분한 양, 즉 미세한 위치의 변화 dx를 미세한 시간의 변화 dt로 나눈 것이므로, 즉 v(t) = dx/dt 이므로, 위를 다음과 같이 바꾸어 쓸 수 있고,
dt^2 - (dx/dt)^2/c^2 * dt^2
두 번째 항에서 dt^2 을 약분해서 없애고 나면
dt^2 - dx^2/c^2
가 되는데, 이만큼이 순간적으로 축적되는 고유 시간의 제곱이다. 어떤 사람이 dt라는 짧은 시간 동안 dx라는 역시 짧은 거리를 이동했다고 가정했을 때, 이 사람이 느끼는 실제 고유 시간 증가분의 제곱이 이렇게 주어진다는 말이다.
물론 무언가 실제로 측정할 수 있는 양의 제곱이므로 0보다 작을 수 없고, 따라서 (dx^2)/(c^2*dt^2) = v(t)^2/c^2 = (v(t)/c)^2 가 1보다 클 수 없으며, 이는 곧 어떤 것도 광속보다 빠르게 움직이지 않는다는 말과 같다.
특이한 것은 광속으로 움직이는 경우 이 고유 시간의 증가분이 항상 0이라는 것인데, 광속에 가까워지면 가까워질수록 시간의 흐름이 한없이 느려진다는 특수 상대론의 잘 알려진 이야기를 기억해 보면, 이는 피할 수 없는 결론이다. 이 "고유 시간"의 정체가 궁금해질 수밖에 없는 대목이지만, 과학을 배울 때 조심해야 하는 것 중 하나가, 중간중간 이야기들에 너무 인식론적인, 철학적인 의미를 부여하려 들지 말아야 한다는 것이다. 과학의 본질을 잃어버리는 매우 빠르고 효과적인 방법이다. 왜냐하면 다른 곳에서도 강조하였듯이 자연의 본질이 자연인의 인지능력을 벗어나는 일은 과학의 발전과 함께 어쩔 수 없이 점점 더 마주할 수밖에 없는 현실이기 때문이다. 피할 수 없는 사실들은 일단 사실로 받아들이는 버릇도 필요하다.
어쨌든, 이렇게 계산되는 고유 시간은 온전히 이 사람만의 시간이라는 점에서 관성계의 시간 t와 구별되는데, 이 고유 시간을 나타내는 부호로 S를 쓰기로 하자. 한편, 위에서 공간의 좌표를 x 하나만 사용했는데, 실제로는 x, y, z 세 개의 좌표가 필요하니 사실은
dS^2 = dt^2 - ( dx^2 + dy^2 + dz^2 )/c^2
이 되는 셈이다. 특수 상대성이론에 나오는, 관성계 사이의 이상한 변환식들은 별 것이 아니고 이 고유 시간이 어느 관성계로 계산해도 같아지도록 만든 것이다. 예를 들어 다른 관성계가 있어서 t, x, y, z 대신 T, X, Y, Z을 사용한다고 해도
dS^2 = dT^2 - ( dX^2 + dY^2 + dZ^2 )/c^2
역시 항상 성립하도록 두 관성계의 좌표들이 연결된다는 말이다.
사실, 이 dS^2 의 중요성은 원래의 특수 상대론 논문에서가 아니고, 수학자 Poincare와 특히 아인슈타인의 스승인 Minkowskii에 의해 나중에 알려진 것이다. 아래 이야기에서 보듯, 일반 상대론으로의 전환은 이 중간 단계 없이는 불가능했을 것이다. 어떤 과학도 혼자 하는 게 아니라는 것을 여실히 보여주는 좋은 일례이다.
일반 상대성 이론은 이 고유 시간의 표현이 시공간이 휘어지면 어떻게 바뀔 수 있는지에 대한 이야기라고 생각하면 매우 정확하다. 혹은 시공간이 휘어진다는 말 자체가 이 고유 시간의 표현이 더 일반적인 형태로 바뀐다는 말을 의미한다는 편이 더 옳겠다.
위에서는 오른편은 dt, dx, dy, dz 등 네 가지 미세한 변화들의 제곱이 들어오는데, 그 이외에도 예를 들어 dx*dy 혹은 dt*dz 같은 곱도 있을 수 있다. 6개의 이런 항이 추가로 가능하니 도합 10개의 항이 오른편에 있을 수 있다. 그래서, 그 첫 단추는 이 고유 시간의 재는 방식에 이 10개의 항이 각자의 "함수"가 곱해져서 나타나는 것인데,
dS^2 = f*dt^2 - ( g*dx^2 + h*dy^2 + k*dz^2 ) + ...
등으로 고유 시간의 축적이, 좌표계를 기준으로 시간 및 공간에서의 움직임에 연결된다는 데에서 시작하며, 물론 t, x, y, z 는 더 이상 관성계가 아니다. f, g, h, ... 등등은 모두 서로 다른 t, x, y, z 자리마다 다른 값들을 갖는 일종의 "함수"들이다. 정확히 이야기하면 함수는 아닌데, 이는 또다시 전혀 다른 좌표계 T, X, Y, Z를 사용했을 때
dS^2 = F*dT^2 - ( G*dX^2 + H*dY^2 + K*dZ^2 ) + ...
가 되도록 하려면, 일반적으로는 f, g, h, ... 와 F, G, H, ... 사이의 꽤 복잡한 변환식이 필요해진다는 것을 의미한다.
이렇게 조금 더 일반적인 시각에서 보면 "관성계"는 중력이 전혀 없는, 즉 완벽히 평평한 시공간에 구현되는 특이한 좌표계일 뿐이다. 이런 예외적인 시공간에서의 관성계라는 것은 위에 .... 로 표현한 6개의 항은 사라지고, f=1와 g=h=k=1/c^2 이 되는 경우를 이야기한다. 이를 또 다른 관성계로 대체하여도 같은 모습으로 고유 시간이 표현되는데, 즉 위에서 보았듯이 원래 관성계와 동일하게 F=1와 G=H=K=1/c^2의 형태가 유지된다. 텅 비어 있는 우주에서만 쓸 수 있는 특수 상대성 이론에 관성계 이야기가 많이 나오는 것이 이 때문인데, 이는, 이전 글에서 이야기하였듯이, 관성계 자체에 너무 많은 의미를 부여하면 안 된다는 것을 시사하기도 하다.
그런데, 위에 dS^2 이야기를 하면서, 이 고유 시간을 경험하는 사람이 누구인지, 어디에서 어디로 가는지 전혀 이야기한 바 없다. 말하자면, 이 dS^2 공식의 우변은 주어진 시공간의 어디에 있는 누구이건 간에 사용할 수 있다는 말이다. f, g, h, ... 등은 시공간의 좌표인 t, x, y, z 에 의하여 결정되는 "함수"들이지, 움직이며 dS의 고유 시간을 축적하는 객체와는 아무런 관련이 없기 때문이다. 따라서, 원래는 움직이는 개개인의 고유 시간에 대한 이야기로 시작하였으나, 실제 결과물, 즉 위 dS^2 식의 우변은, 좌표계 t, x, y, z 와 "함수" f, g, h, ... 등을 통하여 이 시공간 자체 곳곳의 성질을 온전히 담고 있다는 말이다. 일반 상대론이 "고유 시간"을 통해 구현된다는 말의 의미가 정확히 이것이다.
이제, 위 2)의 질문에 대한 답을 할 수 있다: 시공간의 중력은 이 10개의 "함수" f, g, h, ... 등을 통하여 표현된다. 천체들이 주어졌을 때, 혹은 우주에 어떤 에너지와 질량들이 분포하는지에 대한 내용이 주어지면, f, g, h, ... 등등이 계산되는데, 실제로 어떻게 계산되냐고 물으면 리만 기하학에서 시작되는, 이론 물리학 전공 대학원 학생들을 대상으로 해도 한 학기 정도 소요되는 길고 긴 이야기를 해야 하니 여기서는 모른 척하고 넘어가기로 하자. 물론 이 긴 이야기의 끝에는 일반 상대성 이론의 시작과 끝이라고 할 수 있는 다음의 방정식이 자리하고 있을 것이다.
