수학 개념의 ‘정의’를 문제에 적극적으로 적용하라
수포자의 수학 극복기
“사실 수학 문제는 답을 찾아내기 위해 문제에서 시작해서 문제에서 끝나는 것이라 해도 과언이 아니지. 혹시 그동안 수학 공부를 하면서 각 단원이 어떻게 짜여 있었는지 생각해보고 왜 그런 구조를 갖고 있었는지 의문을 가져본 적 있었니?”
“음…. 안 해본 것은 아니에요.”
공부를 잘하기 위해 나는 ‘공부법 수집가’라고 자칭할 수 있을 정도로 닥치는 대로 방법을 모았었고 실행해보기도 했었다. 물론 그것은 끈기의 문제였는지 아니면 이해의 문제였는지 몰라도 얼마 안 가 의지를 상실해서 지속하지 못했기에 결과를 제대로 본 적은 없었지만 말이다.
수학 공부법으로 내가 항상 확인할 수 있었던 것은 ‘수학에서 중요한 것은 정의, 공식, 문제풀이’라는 것이었다. 하지만 ‘나는 그래서 뭐 어쩌라고-!’라는 생각만 들었다.
정의? 좋다 이 말이야. 사실 문제 풀이에 무슨 의미가 있는지 모르겠지만.
공식? 그래 외우면 된다고 해.
문제풀이? 문제를 많이 풀라고? 아니, 그러니까 문제를 어떻게 접근해야 하는지 모르겠다니까!! 삐빅- 여기에서 제대로 걸리는 것이다.
문제를 푸는 법을 모르니 절대적으로 하루에 풀 수 있는 양도 적을 수밖에 없었고, 많은 문제를 풀지 못하니 수능 날까지 전체적인 풀이양도 채우지 못하고 시험을 볼 수밖에 없었다.
“그런데?” 수학 고수님이 되물으셨다.
“안 해본 건 아니지만…. 사실 수학 단원의 구조가 도대체 무슨 의미가 있는 건지 모르겠어요. 정의, 공식, 그리고 문제풀이 순서로 이루어지잖아요. 뭔가 그렇게 배우는 이유가 있을 텐데 선생님을 만나기 전까지 의도를 알아낼 수 없었어요.”
“그래도 제법 그런 것까진 잘 캐치했었구나.”
“이래 봬도 수학 잘하고 싶어서 시도 안 한 공부 방법이 없어요 하하. 효과는 딱히 없었지만요. 그 공부법 중에 하나가 목차를 보고 목차가 왜 그렇게 구성되어있는지 생각해보라는 것도 있었기에 익숙한 질문이긴 하네요.”
“지금까지 배운 걸 토대로 나와 같이 접근해보자. 네 말대로 수학의 모든 단원은 정의-공식-문제풀이 이 순서로 이루어져 있다. 우리는 분명 ‘정의’를 배우지. 그런데 수학을 어려워하는 모든 사람들이 같은 질문을 한단다. ‘그런데 도대체 정의는 배워서 어디서 써먹는 거예요’라고 말이다.”
“너무 공감하는 질문이네요. 저도 그랬거든요.”
“문제를 풀 때 정의는 어디에서 쓰일 거 같니?”
“문제를 풀 때…. 정의를 써요? ‘정의’가 문제 푸는데 쓰이는 거였어요??”
“이것도 충격이니?” 수학 고수님은 여전한 내 반응에 웃음을 터뜨리셨다.
“제가 아직도 충격을 받을 일이 남았군요.”
“충격을 받는다는 건 아주 좋은 현상이다. 성장할 수 있다는 증거거든.”
“아니…. 근데 정의를 대체 어느 부분에서 쓰는 거예요? 진짜 모르겠는데…. 정의는 그냥 줄글이잖아요? 우리가 해당 개념을 이러이러하게 부르기로 약속했다고….”
“우리가 문제를 해석할 때 제일 먼저 식으로 바꾸는 부분이 어디였지?”
“~를 구하여라. 문제에서 구하라고 하는 것을 x(미지수)로 두었어요.”
“좋아. 그리고 다시 문제의 처음으로 돌아가서 사람의 언어로 쓰인 줄글을 수학의 언어인 ‘수식’으로 바꾸었지.”
“네….”
“이 ‘수식’으로 바꿀 때, 특히 여기 보면 문제를 풀기 위해 ‘주어진 조건 부분’ 있지?”
“아. 주어진 조건. 예를 들어 ‘~~라고 할 때(혹은 ~~라고 한다)’ 여기 이 부분이네요.”
“그래. 정의는 ‘주어진 조건’을 수식으로 바꿀 때 활용할 수 있는 것이다.”
“아하! 그러니까 구하라는 것은 미지수로 두고, ‘~라고 할 때’ 이 부분에서 수학 개념의 정의를 이용해서 수식을 세우는 거군요.”
“그렇지.”
“어…. 와…. 잠시만요. 진짜 놀랍네요. 드디어 ‘정의의 쓸모’도 이해할 수 있게 되었어요. 정의의 효용성을 납득하는 날이 오게 되다니.”
“수학에서 정의는 단순히 ‘비석에 새긴 줄글로 된 약속’이 아니란다. 수학 문제 해석에 있어 필수적인 도구이지. 그런데 사람들은 공식에만 주목해서 문제만 보면 ‘공식을 문제에 어떻게 적용할지’에만 초점을 맞추지. 그러니 문제가 조금만 달라지거나 한번 더 꼬이면 외운 공식을 그대로 적용할 수 없으니 막히는 거란다. ‘정의’는 문제가 어떤 식으로 꼬여도 해결할 수 있게 하는 필수 도구지. 그렇기 때문에 수학의 모든 단원도 ‘정의-공식-문제풀이’ 순서대로 짜여 배우는 것이고. 그 모든 것은 의미가 있단다.”
“그렇군요. 정의는 문제풀이에 적극적으로 활용해야 하는 것. 기억해둘게요.”
