삼각형 세 각의 합은 왜 180°일까?
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Feb 16. 2024
삼각형 세 각의 합, 기억나세요?
180°라고 어렴풋이 생각나실 겁니다. 학창시절 우린 그렇게 배웠고 무조건 외웠어요. 그런데 왜 180°인지 그 이유도 아시는지요.
각을 알기 위해선, 먼저 한바퀴를 뜻하는 원의 각도가 360°라는 것부터 알아야 합니다. 이것은 '약속'이에요.
고대 바빌로니아 사람들은 한바퀴를 360°로 정해서 각도 계산을 했다고 합니다. 당시에는 태양이 지구 주변을 돈다고 믿었는데요. 태양이 한바퀴 도는데 걸리는 시간을 360일로 예측했기에 원의 각도도 360°로 설정했습니다. 360°로 해두면 여러가지로 편리해서 지금껏 사용하고 있죠. 수학에서 정한 규칙이니까 원이 360°라는 것은 웬만해선 바뀔 수 없어요. 이 규칙을 근거로 반원의 각도는 180°, 또 그것의 절반인 직각은 90°가 되었습니다.
그렇다면 삼각형 세 각의 합은 어째서 180°일까요?
삼각형을 그려보세요. 세 각을 다른 색으로 칠하고 자릅니다.
세 꼭지점을 한 점에 모아볼게요.
삼각형이 묘기라도 부린 걸까요? 일직선이 되었습니다. 자기 자리에서 한껏 날카로움을 뽐내던 각들이 한자리에 모이자 평온해졌군요. 정확히 180°입니다.
삼각형도 변의 길이, 각의 크기에 따라 종류가 다양한데요. 모두 다 180°일까요?이번엔 자르지 않고 접어서 해볼게요.
삼각형이 이번에도 보란듯이 일직선을 만들었네요. 이렇듯 세상 모든 삼각형의 내각(內角)의 합은 180°입니다.
삼각형 내각의 합이180°인 것은
삼각형의 본질
이 활동은 초등 4학년 1학기 수학교과서에 나와있어요. 삼각형의 세 각을 각도기로 재서 합을 구할 수도 있지만, 이 방법이 훨씬 직관적입니다. 우리가 예전에 배운 방식보다 훨씬 재밌죠?
이번엔 중학교 방식으로 증명해봅시다.
먼저 삼각형의 한 꼭지점을 지나고 밑변과 평행인 직선을 그립니다.
평행한 두 직선과 한 직선이 만날 때, 서로 엇갈리는 각, 엇각의 크기가 같다는 것을 이용할 수 있어요.
삼각형 세 각이 한 데 모이니까 일직선이 됩니다. 이로써 삼각형 세 각의 합은 180°임이 수학적으로 증명됐습니다.
삼각형 내각의 합이 180°라면 '사각형' 내각의 합은 얼마일까요?
정사각형과 직사각형부터 보겠습니다.
정사각형과 직사각형은 90°가 4개니까, 90×4=360, 360°로 알고 계시죠?
그런데 사각형의 정의는 네 개의 선분으로 이루어진 도형입니다.
제멋대로 생긴 듯 보이지만 얘네들 모두 사각형이에요. 모양이 제각각인데 네 각의 합이 같을까요?
지금이 바로 삼각형이 나설 타이밍입니다. 삼각형 내각의 합이 180°라는 걸 적극 이용해보세요.
이렇게 사각형에 대각선을 그으면 2개의 삼각형으로 나뉘죠. 그래서 모든 사각형 네 각의 합은 180×2=360, 360°입니다.
삼각형, 사각형까지 해봤으니 이젠 '오각형'을 해봅시다.
오각형은 삼각형 3개로 나누어집니다. 그래서 오각형 내각의 합은 180×3=540, 540°. 아주 쉽지요?
내친김에 '육각형'도 해보겠습니다.
삼각형이 4개니까 180×4=720, 육각형 내각의 합은 720°가 됩니다.
모든 다각형은
삼각형으로 분해된다
이처럼 모든 다각형은 삼각형으로 쪼개집니다. 아무리 복잡한 다각형일지라도 그 기본은 삼각형이에요.
그런데 여기에도 일정한 규칙이 있습니다. 아래 그림을 가만히 들여다볼까요?
사각형 : 변 4개, 삼각형 2개
오각형 : 변 5개, 삼각형 3개
육각형 : 변 6개, 삼각형 4개
.......
찾으셨나요? 한 꼭지점에서 대각선을 그어 만들어지는 삼각형 개수는 변의 개수보다 2개 적어요.
n각형 : 변 n개, 삼각형 (n-2)개
n각형은 삼각형이 (n-2)개로 나누어집니다. 삼각형 세 각의 합이 180°라는 사실을 이용하면, 세상 모든 다각형들의 내각의 합을 쉽게 알 수 있겠지요. 이것을 일반화해서 나타내면 이런 공식이 만들어집니다.
삼각형 내각의 합 : 180°
사각형 내각의 합 : 180°×2=360, 360°
오각형 내각의 합 : 180°×3=540, 540°
육각형 내각의 합 : 180°×4=720, 720°
.......
180°×(n-2)
중학교 1학년 2학기 수학에 나오는 내용입니다. 수학공식이라는 말만 들어도 머리가 지끈지끈하신가요? 얼핏 보면 어려운 거 같지만, 지금처럼 하나씩 따져보면 그다지 어려울 거 없어요.
이번엔 다른 방법으로 증명해볼게요. '대각선'이 아닌 '점'을 이용해보겠습니다.
먼저 n각형 안에 점 하나를 찍어요. 이 점에서 각 꼭지점을 향해 선을 긋습니다.
그러면 모두 n개의 삼각형이 생깁니다. 사각형이면 삼각형이 4개, 5개, 육각형이면 6개, 칠각형이면 7개입니다.
이제 내각의 합을 구해볼께요.
삼각형 한 개의 내각의 합은 180°도니까,
180°×n 이 되겠죠.
근데 가운데 점을 중심으로 원이 그려집니다. 이 각은 필요 없으니까 360°를 빼줘야 합니다.
180°×n - 360°
여기서 우리는 공식을 유도할 수 있어요.
360°을 빼준다는 것은 180°×2를 뺀다는 거잖아요.
180°×n - 180°×2
공통 인수로 묶어주면
180°× (n-2)가 되는 겁니다.
선분으로만 둘러싸인 도형을 '다각형'이라고 합니다. 다각형 중에서도 변의 길이가 모두 같고 각의 크기가 모두 같으면 '정다각형'이라고 하는데요.
이렇게 생긴 도형입니다. 선분의 개수가 늘어날수록 원의 모습에 가까워집니다. 한 각의 크기가 점점 커지는군요. 정삼각형은 60°, 정사각형은 90°라는 건 다 아실테지요. 그럼 정오각형은 한 각이 몇 °일까요? 정육각형, 정팔각형... 정이십각형은요?
각도기가 필요하시다구요? 아니요. 여러분은 각도기 없이도 충분히 하실 수 있어요. 다각형 내각의 합 구하는 방법을 이미 알고 계시니까요. 180×(n-2) 기억나시죠? 그걸 n으로 나누면 정n각형 한 각의 크기가 나옵니다.
