삼각형 세 각의 합은 왜 180°일까? 삼각형 세 각의 합 , 기억나세요? 180 ° 라고 어렴풋이 생각 나 실 겁니다. 학창시절 우린 그렇게 배웠고 무조건 외 웠어요 . 그런데 왜 180 ° 인지 그 이유도 아시는지요. 각을 알기 위해선, 먼저 한바 퀴를 뜻하는 원의 각도가 360 ° 라는 것부터 알아야 합니다. 이것은 '약속'이에요. 고대 바빌로니 아 사람들은 한바퀴 를 360 ° 로 정해서 각도 계산을 했다고 합니다. 당시에는 태양이 지구 주변을 돈다고 믿었는데요. 태양이 한바퀴 도는데 걸리는 시간을 360일로 예측했기에 원의 각도도 360°로 설정했습니다. 360°로 해두면 여러가 지로 편리해서 지금 껏 사용하고 있 죠. 수학에서 정한 규칙이니까 원이 360 ° 라는 것은 웬만해선 바뀔 수 없어요. 이 규칙을 근거로 반원의 각도는 180 °, 또 그것의 절반인 직각 은 90 °가 되었습니다. 그렇다면 삼각형 세 각의 합은 어째서 180 °일까요? 삼각 형을 그려보세요. 세 각을 다른 색으로 칠하고 자릅니다. 세 꼭지 점을 한 점에 모 아볼게요. 삼각형이 묘기라도 부린 걸까요? 일직선이 되었습니다. 자기 자리에서 한껏 날카로움을 뽐내던 각들이 한자리에 모이자 평온해졌군요. 정확히 180 °입니다 . 삼각형도 변의 길이, 각의 크기에 따라 종류가 다양한데요. 모두 다 180 ° 일까요? 이번엔 자르 지 않고 접어서 해볼게 요. 삼각형이 이번에도 보란듯이 일직선을 만들었네요. 이 렇듯 세상 모든 삼각형의 내각(內角)의 합은 180 ° 입니다. 삼각형 내각의 합이180°인 것은 삼각형의 본질 이 활동은 초등 4학년 1학기 수학교과서에 나 와 있어요 . 삼각 형의 세 각을 각도기로 재서 합을 구할 수도 있지만, 이 방법이 훨씬 직관적입니다. 우리가 예전에 배운 방식보다 훨씬 재 밌죠? 이번엔 중학교 방식으로 증명해봅시다. 먼저 삼각형의 한 꼭지점을 지나고 밑변과 평행인 직선을 그립니다. 평행한 두 직선과 한 직선이 만날 때, 서로 엇갈리는 각 , 엇각 의 크 기 가 같다는 것을 이 용할 수 있어요 . 삼각형 세 각이 한 데 모 이니까 일직선이 됩니다. 이로써 삼각형 세 각의 합은 180 °임이 수학적으로 증명됐습니다. 삼각형 내각의 합이 180°라면 ' 사각형 ' 내각의 합은 얼마일까요? 정사각형과 직사각 형 부터 보겠습니다. 정사각 형과 직사각형은 90 ° 가 4개니까, 90×4=360 , 360 ° 로 알고 계시죠? 그런데 사각형의 정의는 네 개의 선분으로 이루어진 도형입니다. 제멋대로 생긴 듯 보이지만 얘 네들 모두 사각형이에요. 모양이 제각각인데 네 각의 합이 같을 까요? 지금이 바로 삼각형이 나설 타이밍입니다. 삼각형 내각의 합이 180 ° 라는 걸 적극 이용해보세요. 이렇게 사각형에 대각선을 그으면 2개의 삼각 형으로 나뉘죠. 그래서 모든 사각형 네 각의 합은 180×2=360 , 360 °입니다. 삼각형, 사각형까지 해봤으니 이젠 ' 오각 형 '을 해봅시다. 오각형은 삼각형 3개로 나누어집니다. 그래서 오각형 내각의 합은 180×3=540, 540 ° . 아주 쉽지요? 내친김에 ' 육각형 ' 도 해보겠습니다. 삼각형이 4개니까 180×4=720, 육각형 내각의 합은 720 ° 가 됩니다. 모든 다각형은 삼각형으로 분해된다 이처럼 모든 다각형은 삼각형으로 쪼개집 니다. 아무리 복잡한 다각형일지라도 그 기본은 삼각 형이에요. 그런데 여기에도 일정한 규칙이 있습니다. 아래 그림을 가만히 들여다볼까요? 사각형 : 변 4개, 삼각형 2개 오각형 : 변 5개, 삼각형 3개 육각형 : 변 6개, 삼각형 4개 ....... 찾으셨나요? 한 꼭지점에서 대각선을 그어 만들어지는 삼각형 개 수는 변의 개수보다 2개 적어요. n각형 : 변 n개, 삼각형 (n-2)개 n각형은 삼각형이 (n-2) 개 로 나누어 집 니다. 삼각형 세 각의 합이 180 ° 라는 사실을 이용하면 , 세상 모든 다각형들의 내각 의 합을 쉽게 알 수 있겠지 요. 이것을 일반화해서 나타내면 이런 공식이 만들어집니다. 삼각형 내각의 합 : 180 °사각형 내각의 합 : 180 ° ×2=360, 360 °오각형 내각의 합 : 180 ° ×3=540, 540 °육각형 내각의 합 : 180 ° ×4=720, 720 °....... 180°×(n-2) 중학교 1학년 2학기 수학에 나오는 내용입니다. 수학공식이 라는 말만 들어도 머리가 지끈지끈하신가요 ? 얼핏 보면 어려운 거 같지만 , 지금처럼 하나씩 따져 보 면 그 다지 어려울 거 없 어요. 이번엔 다른 방법으로 증명해볼게요. '대각선' 이 아닌 '점'을 이용해보겠습니다. 먼저 n각형 안에 점 하나를 찍어요. 이 점에서 각 꼭지 점을 향해 선을 긋습니다. 그러면 모두 n개의 삼각형이 생깁니다. 사각형이면 삼각형이 4개, 5개, 육각형이면 6개, 칠각형이면 7개입니다. 이제 내각의 합을 구 해볼께요. 삼각형 한 개의 내각의 합은 180°도니까, 180 ° ×n 이 되겠죠. 근데 가운데 점을 중심 으로 원이 그려집니다. 이 각은 필요 없으니까 360 ° 를 빼줘야 합니다. 180 ° ×n - 360 °여기서 우리는 공식을 유도할 수 있 어요. 360 ° 을 빼준다는 것은 180 ° ×2를 뺀다는 거 잖아요. 1 80 ° ×n - 180 ° ×2 공통 인수로 묶어주면 180 ° × (n-2)가 되는 겁니다. 선분으로만 둘러싸인 도형을 '다각형'이라고 합니다. 다각형 중에서도 변의 길이가 모두 같고 각의 크기가 모두 같으면 '정다각형'이라고 하는데요. 이 렇게 생긴 도형입니다 . 선분의 개수가 늘어날수록 원의 모습에 가까워집니다. 한 각의 크기가 점점 커지는군요. 정삼각형은 60°, 정사각형은 90°라는 건 다 아실테지요. 그럼 정오각형은 한 각이 몇 °일까요? 정육각형, 정팔각형... 정이십각형은요? 각도기가 필요하시다구요? 아니요. 여러 분은 각도기 없이도 충분히 하실 수 있어요 . 다각형 내각의 합 구하는 방법을 이미 알고 계시 니까요. 180×(n-2) 기억나시죠? 그걸 n으로 나누면 정n각형 한 각의 크기가 나옵니다. 이 공식을 이용하면 ,정오각형 : 한 각의 크기는 108°, 정육각형 : 한 각의 크기는 120° 정팔각형 : 한 각의 크기는 135° 정십이각형 : 한 각의 크 기 는 150° ..... 이렇게 정다각형 한 각의 크기도 쉽게 구할 수 있답니다. 다각형의 최소 단 위가 ' 삼각형 ' 이라는 것만 기억한다면, 다각형 내각의 합은 물론, 정다각형 한 각의 크기도 쉽게 알 수 있어요 . 이해하고나면 공 식도 자연 스럽습니 다.