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Feb 23. 2024
직사각형 넓이는 왜 (가로×세로)로 구할까?
직사각형 넓이 구하는 공식이 뭐죠?라고 질문하면 아마 여러분은 잠꼬대로도 대답하실 수 있을 거예요. 그런데 말입니다 여러분, 왜 (가로×세로)를 하는거죠? '넓이'가 대체 뭔데요?
대답이 선뜻 안 나오시죠? 학교 다닐 때 직사각형 넓이는 무조건 (가로×세로)라고 배웠는데 거기에 이유랄 게 있나, 넓이가 바로 (가로×세로)지. 혹시 이렇게 생각하셨나요?
평범한 우리가 이렇게 생각하는 것도 무리가 아니에요. 수학책을 다수 집필하신 최수일 선생님께서도 책에서 수줍게 고백하신 걸요.
"중고등학교에서 27년이나 수학을 가르친 저로서는 직사각형의 넓이를 구하는 공식이 왜 (가로×세로)인지를 생각해본 적이 없습니다. 그렇지만 항상 궁금했지요. 도형의 넓이라는 것은 그 도형이 차지하고 있는 크기인데 왜 그 크기를 직접 재지 않고 옆모서리인 가로와 세로의 길이를 재고 곱하는 것으로 계산할까? 가운데는 왜 재지 않을까?"
그러다 명예퇴직 후 초등학교 교과서를 다시 공부하면서 그 이유를 알게 되셨다고 합니다.
사실 이 글을 쓰는 저도 우연히 알게 됐어요. 학교 다닐 때는 전혀 몰랐습니다. 몰라도 시험 문제를 푸는 데는 아무 지장이 없었으니까요. 어쩌면 우리는 넓이 '공식'만 알 뿐, 넓이 '개념'은 전혀 모르고 있는지 모릅니다. 알지만 모르는 상태랄까요.
(가로×세로)는
넓이 개념이 아니라
넓이 공식
자, 이 세 개의 직사각형을 봐주세요. 여러분이 보시기엔 1,2 3번 중 어느 직사각형의 넓이가 더 큰가요?
넓이는 면의 크기인데, 이 세 개의 직사각형 넓이를 어떻게 비교할 수 있을까요? 여러 개를 서로 비교하려면 일단 '기준'이 있어야 합니다.
예를 들어 A와 B 중 누가 더 키가 큰지 비교한다고 칩시다. 둘이 등을 맞대고 서서 비교하는 방법도 있지만, 꽤나 번거롭죠. 키 차이가 얼마나 나는지 정확히 알기도 어려워요.
그런데,
A : 난 167cm야
B : 난 165cm인데, 네가 나보다 2cm 더 크구나.
훨씬 정확하고 간편하죠?
길이를 측정할 때는 '1cm'가 기준입니다. 내 키는 1cm가 165개 있는 165cm인 거예요. 우리는 cm라는 단위가 있기 때문에 비교 대상끼리 직접 맞대볼 필요 없이, 각각을 측정해서 손쉽게 길이를 비교할 수 있어요. 우리는 '자'라는 도구를 이용해서 길이를 잴 수 있습니다.
무게의 기준은 1g이에요. 우리는 저울을 이용해서 무게를 잴 수 있어요. 각도의 기준은 1°죠. 각도기로 각의 크기를 잴 수 있습니다.
이렇듯 비교할 때는 똑같은 걸 기준 삼아야 정확해요. 수학에서는 그 기준을 '단위'라고 합니다. 길이에서는 1cm가 단위이고, 무게에서는 1g, 각도에서는 1°가 단위입니다. 넓이는 한변의 길이가 1cm인 정사각형을 단위로 사용합니다. 이 정사각형의 넓이가 1㎠입니다.
[동아출판 5-1 수학교과서]넓이도 자, 저울, 각도기와 같은 도구를 이용해 측정할 수 있을까요? 아쉽게도 없습니다. 도형 안에 1㎠ 정사각형이 몇 개 있느냐가 그 도형의 '넓이'가 됩니다. 10개 들어가면 10㎠. 20개 들어가면 20㎠입니다. 간단하죠?
아까 만났던 세 사각형을 모눈종이에 그대로 옮겨보겠습니다.
1번 사각형은 가로 4cm,세로4cm인 정사각형인데요. 1㎠ 정사각형이 몇 개 있나요? 4개씩 4줄이니까 16개. 그래서 1번 도형의 넓이는 16㎠입니다.
2번 사각형은 가로5cm, 세로3cm이죠. 1㎠ 정사각형이 5개씩 3줄이라서 모두 15개. 넓이는15㎠입니다.
3번은 가로2cm,세로7cm인 직사각형입니다. 여기에는 1㎠ 정사각형이 2개씩 7줄 있으니까 14개. 넓이는 14㎠입니다.
1번 사각형의 넓이가 가장 크군요.
넓이를 구하려는 직사각형에 1㎠인 정사각형이 몇 개 들어가는지를 세어보면, 직사각형의 가로와 세로의 길이를 곱한 값과 같습니다.
[수학의 구조 대사전]그래서 넓이 구하는 공식은,
직사각형의 넒이 = 가로×세로
정사각형의 넓이 = 한변×한변 = 한변²
이제 아셨지요?
그동안 우리는 주어진 직사각형의 넓이가 얼마인지 답을 구하는데만 급급했었죠. 이번엔 다르게 접근해볼게요.
넓이가 24㎠인 직사각형은?
넓이 24㎠인 직사각형을 직접 그려보세요. 스크롤을 멈추고 잠깐 생각해보기로 해요. 어떤 사각형을 그리셨을지 궁금하네요.
[스탠퍼드 수학공부법]이 문제의 답은 하나가 아닙니다. 넓이가 24㎠인 직사각형은 이렇게나 많습니다. 생김새도 다 다르죠? 단순히 공식을 따라하는 것이 아니라 넓이 개념을 이용해 주체적으로 생각할 수 있어요. 이럴 때 수학은 재밌어집니다.
그렇다면 이런 도형의 넓이는 어떻게 구해야 할까요?
바로 '평행사변형'입니다. 직사각형은 반듯하게 생겼으니까 (가로×세로)로 쉽게 구할 수 있지만, 이렇게 기울어진 평행사변형의 넓이는 어떻게 구할까요? 혹시 예전에 배웠던 공식 기억나세요?
도형이 기울어졌죠? 이걸 반듯하게 만들어주면 됩니다. 평행사변형은 이렇게 밑변과 높이가 주어지는데요.
기울어진 부분을 잘라서 옮기면 직사각형이 됩니다.
이 직사각형의 넓이는 쉽게 구할 수 있지요?직사각형의 (가로×세로)는 평행사변형의 (밑변×높이)와 같습니다.
그래서 평행사변형의 넓이 구하는 공식은
평행사변형의 넓이=밑변×높이
이번엔 '사다리꼴'입니다.
사다리꼴 넓이 구하는 공식, 기억나실까요? 엄청 복잡했었어요. 먼저 보여드릴게요.
사다리꼴의 넓이=(윗변+아랫변)×높이÷2
어쩌다 이런 복잡한 공식이 성립됐을까요? 과정을 이해하면 사다리꼴 넓이 공식도 바로 외우시게 될 걸요? 찬찬히 따져보기로 해요.
사다리꼴은 이렇게 생겼죠. 윗변, 아랫변, 높이가 주어집니다. 이 상태로는 막막합니다.
그런데 똑같은 사다리꼴 두개를 합치면 이렇게 평행사변형이 됩니다.
좀 전에 평행사변형 넓이는 (밑변×높이)로 구했죠? 이 큰 사다리꼴의 밑변은 (윗변+아랫변)이니까, 넓이는 (윗변+아랫변)×높이를 해줍니다. 그런데 사다리꼴이 두 개니까 2로 나누어줘야 하죠. 그래서 이런 사다리꼴 넓이 구하는 공식이 만들어졌습니다.
사다리꼴의 넓이=(윗변+아랫변)×높이÷2
다음은 '마름모'입니다. 마름모는 네 변의 길이가 같은 사각형인데요. 마름모는 두 개의 대각선 길이가 주어집니다. 이 마름모의 넓이는 어떻게 구할 수 있을까요?
두 대각선과 평행한 선으로 둘러싸인 직사각형을 그립니다.
