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Dec 18. 2021
1+1은 꼭 2가 아닐 수도 있어
그래서 정답은 뭐라고?
1+1은 왜 2일까? “사과 한 개와 사과 한 개를 갖다 놓으면 두 개니까.”라고 말할 수 있다. 그런데 이런 주장은 수학적으로 엄밀한 증명방법이 아니다. 사과란 개념을 먼저 살펴보자. 사과는 제각각 크기와 색깔 그리고 모양 전부 다르다. 빨간색 사과, 덜 익은 사과, 청색 사과 중 무엇이 진짜 사과인지 알 수 없다. ‘갖다 놓는다.’라는 행위는 더하기(+)란 연산을 모두 설명할 만큼 충분한가. 예를 들어 서울시 기온이 5도에서 10도 상승했다. 기온 변화는 ‘갖다 놓는다.’로 설명할 수 없다. 사과 한 개의 정의는 또 무엇일까. 흠이 난 사과와 벌레가 들어있는 사과는 과연 사과 한 개라고 말할 수 있을까.
이런 혼란이 생긴 이유는 논리의 출발점을 제대로 잡지 않았기 때문이다. 수학은 공리(Axiom)로 논리의 출발점을 세운다. 공리란 너무나도 당연해서 증명할 수 없는 사실을 말한다. 공리들의 모임은 공리계라고 부른다. 1+1=2는 페아노 공리계와 더하기의 정의로 증명할 수 있다. 페아노 공리계는 자연수를 엄밀히 정의하며 다섯 가지 공리로 이루어져 있다. 아마 읽고 이해하는 독자는 없으리라 생각한다. 다만 이토록 체계적인 논리가 있다는 느낌을 받고 가면 좋겠다.
아마 정신이 멍해졌을 텐데 전혀 겁먹을 필요 없다. 쉽게 요약하면 “자연수는 1부터 무한대까지 순차적인 진행을 한다.”로 이해하면 된다. 더하기의 정의는 다음과 같다.
1+1=2 증명은 생각보다 간단하다. 페아노 1번 공리로 1은 자연수이다. 페아노 2번 공리로 1은 그다음 수 1'을 갖는다. 즉 1'=2이다. 더하기의 정의에 자연수 1을 대입하자. 1+1=1'이다. 1+1=1'=2이므로 1+1=2이다.
만약 페아노 공리계를 인정하지 않으면 어떻게 될까? 초등학생 시절 발명왕 에디슨은 선생님께 찰흙 한 덩이와 찰흙 한 덩이를 둥글게 뭉치면 여전히 한 덩이이므로 1+1=1 아니냐는 주장을 했다. 선생님은 에디슨의 말을 듣고 말문이 막혔다. 어린아이의 말장난 같아 보이지만 위상수학을 이해한다면 그의 말이 참임을 증명할 수 있다.
위상수학(topology)이란 도형의 ‘크기와 모양’에 상관없이 도형의 ‘연결 상태’를 바탕으로 도형을 연구한다. 말랑말랑한 고무공을 예로 생각하자. 고무공을 납작하게 만들 수 있고 바람을 넣어 더 크게 만들 수 있다. 고무공이 납작해지거나 크기가 커져도 한 덩어리라는 연결 상태는 변하지 않는다. 고무공을 찢어버리거나 뚫지 않는 이상 늘리거나 비틀어도 상관없다는 말이다. 고무공뿐만 아니라 정육면체, 구, 삼각기둥, 원기둥 등등 모양과 크기가 달라도 한 덩어리라면 모두 같다.
따라서 두 개의 찰흙 덩어리를 둥글게 뭉치면 크기는 커져도 한 덩어리다. 위상수학에서는 1+1=1이다.
1+1의 결과는 기준을 어떻게 세우느냐에 따라 얼마든지 달라진다.
