수(數)와 양(量)에 대해 처음으로 깊이 생각해 보다
수학과 가까워지기
지난 글에 이어서 9장 '해석의 엄밀화'에서 밑줄 친 내용을 토대로 생각을 정리한 글입니다.
양을 수로 대신하다?
'양을 수로 대신하다'라는 말이 매력적으로 다가왔습니다.
피타고라스 학파가 기하 문제에서 양을 수로 대신하려고 했을 때 직면한 문제는 역시 '연속성'이었다. 뉴턴은 연속 운동의 직관을 이용하여 연속성 문제를 피해 가려고 했고 라이프니츠 역시 자신의 '연속성 공준을 이용하여 이 문제를 벗어나려고 했다. 이제 해석학은 또다시 많은 수학자를 역사의 출발점으로 되돌려놓았다.
물론, 배경 지식 부족도 작용을 했습니다. 일단, 인공지능 삼총사[1]에게 질문[2]을 던졌습니다.
평소 장황하다는 느낌을 주던 제미나이가 이번(?)에는 상대적으로 유용한 듯 보입니다. 굵게 강조한 부분 그리고 목록과 제목을 추가해 구조화해 준 부분에 제가 영향을 받는 모양입니다.
이렇게 주어진 정보가 저에게 작동하는 지식으로 느껴지지는 않습니다. 그래서 더 기초적인 질문을 하게 됩니다.
양이 뭐고, 수는 뭘까?
양(量)이 무엇인가 처음으로 깊이 생각해 보다
사전을 찾아봅니다. 너무나 익숙한 개념인 양에 대해서 처음으로 깊이 생각하는 듯합니다. 사전 풀이에서 '세거나 잴 수 있는'이라는 말을 보니 묻따풀 과정에서 배운 '맛보는 일과 혀와 헤아리다'가 떠오릅니다. 분량과 수량이라는 이분법도 보입니다.
유사어 중에서 눈에 띄는 단어 뜻도 찾아봅니다.
헤이릴 양(量)과 Quantity
한자 사전도 찾아봅니다.
뒤이어 위키피디아 Quantity 페이지를 보니 한자는 행위를 뜻하는데, 영어는 명사이자 개념입니다. 그리고 분량과 수량이라는 이분법의 바탕에 있는 속성인 연속성(continuity)과 불연속성(discontinuity)도 눈에 들어옵니다. 그리고 이들은 다시 multitude와 magnitude 일대일 대응 하는 듯합니다.
위키피디아 정의를 파파고로 번역확인해 볼까요? multitude는 한국말로는 수량과 비슷합니다. 위키피디아 링크는 counting으로 포워딩됩니다.
위키피디아 정의를 파파고로 번역수(數)가 무엇인가 처음으로 깊이 생각해 보다
수는 <수와 숫자의 기원>에서 한번 살펴보기는 했네요. 그래도 비슷하게 사전을 찾아봅니다.
유의어도 찾아보았습니다.
Number 그리고 식별을 위해 쓰이는 Nominal number
위키피디아에서 number 페이지도 살펴봅니다. count, measure를 보면 앞서 양에서 살펴본 '세거나 잴 수 있는'이라는 매듭말(=어구)이 떠오릅니다.
A number is a mathematical object used to count, measure, and label. The most basic examples are the natural numbers 1, 2, 3, 4, and so forth. Numbers can be represented in language with number words.
그래서 label은 뜻밖의 등장이라 느껴집니다. 하지만 위키피디아 페이지를 찾아 정의를 보면 쉽게 경험과 연결 지을 수 있습니다. ISBN이나 바코드 같은 많은 식별자 혹은 관리번호가 그렇죠.
위키피디아 정의를 파파고로 번역수와 양이라는 아주 기초적인 개념을 살펴보다가 9장 '해석의 엄밀화'를 끝내지 못했습니다. 다음 글에서 이어가기로 합니다.
추가로 10장 '수학의 새로운 시대'에서 밑줄 친 내용을 토대로 생각을 씁니다.
무한집합론과 집합론적 사고
반가운 내용이 등장합니다.
1870년대 독일의 수학자 칸토어는 무한집합론을 창시하여 수학의 통합을 시도하는 새로운 방법을 제시했다. <중략> 19세기말 집합론을 이용해 해석학에 엄밀성과 정확성이 더해졌으며 나아가 수학 개념의 통합 역시 가능해졌다. 이로써 수학계 전체가 전례 없는 비약적 발전을 이룩하게 되었다.
반갑긴 하지만 사실은 잘 모르는 내용이죠. 먼저 반가운 이유는 박문호 박사님께 들었던 집합론적 사고의 기원이 되는 칸토어의 업적이 소개된 탓이라 할 수 있습니다. 앞서 '집합론적 사고'로 다룬 글을 여러 개 쓴 바 있죠.
반면에 '무한집합론'은 생소해서 다시 한번 인공지능 3 총사에게 질문을 던졌습니다.[3] 먼저 제미나이의 답변 중에서 가장 눈길이 가는 내용은 다음 포기말들입니다.
무한집합론을 처음 체계적으로 연구한 수학자는 게오르크 칸토어입니다. 그는 무한 집합의 크기를 비교하는 방법을 개발하고...
무한 집합의 크기를 비교하는 첫 번째 체계적 시도라니 막연하지만 근본적인 질문을 던지는 모습처럼 멋진 시도라 여겨집니다. 나머지 두 개의 답변도 보겠습니다. 붉게 칠한 부분들이 눈에 들어왔습니다.
박문호 박사님이 공개적으로 칭찬한 파깨비TV 링크도 반가웠습니다.
러셀의 역설 그리고 수학의 3대 학파
러셀의 역설의 통속 버전인 '이발사의 역설'을 소개합니다.
익살스러운 이 이야기는 수학기초론 발전에 지대한 영향을 미쳤다. 수학기초론을 둘러싼 논쟁 속에서 현대 수학 역사에서 유명한 '수학의 3대 학파'가 출현하기도 했다.
뒤이어 논리주의(logicism), 직관주의(intuitionism), 형식주의(formalism)로 분화되는 현대 수학의 학파 소개가 이어집니다. 세 가지 지향점으로 연구가 나눠진다는 점은 흥미를 자극했지만 솔직히 현대 수학의 내용에는 어떠한 호기심도 느껴지지 않았습니다. 아직은 제 한계를 넘어선다 하겠죠.
주석
[1] 요즘 자주 쓰고 있는 챗GPT4o, 퍼플렉서티 그리고 제미나이를 칭합니다.
[2] 사용한 프롬프트는 다음과 같습니다: 책에서 ‘피타고라스 학파가 기하 문제에서 양을 수로 대신하려고 했을 때’란 표현을 봤는데, 이에 대해 간략하게 설명해 줄 수 있나요? 이때 그러한 시도의 배경이 된 의도와 수학사의 의의도 추가해 주세요.
[3] 사용한 프롬프트는 다음과 같습니다: 무한집합론에 대해서 평이한 한국말로 간략하게 설명해 주세요.
지난 수학과 가까워지기 연재
3. 수와 숫자의 기원
